Условия на седло дифференцируемой функции и разных областей определения

Пусть функция ϕ- вогнутая, дифференцируемая. Рассмотрим различные Х:

а)X-открытое, любого знака =0

б)Ограничено снизу, X≥, ( ≤0)(=0)⋃()

=0

в) Ограничено сверху(X≤)

г) x-ограничено и сверху и снизу, ≤ X≤

⋃

Если функции по u выпуклы, то знаки производных будут наоборот

≤ X≤

≤ ≤

Обобщаем полученный результат для выпуклой функции, имеем следующие необходимые условия, дающие седло.

x≤0

x≥0

≤ X≤ ⋃

u- любого знака

u≤0и

≤ u≤⋃

Решая эту систему неравенств, получаем точки, которые необходимо проверить на седло, так как условие необходимое.

Если функция ϕ(x,u) выпукла по u и вогнута по x, то данные дифференциальные условия необходимы и достаточны и система точно даст седло.