Интервал корреляции сигнала

Интервал корреляции сигнала является числовым параметром оценки ширины АКФ и степени значимой корреляции значений сигнала по аргументу.

Если допустить, что сигнал s(t) имеет примерно равномерный энергетический спектр со значением W₀ и с верхней граничной частотой до w_в (форма центрированного прямоугольного импульса, как, например, сигнал 1 на рис. 6.9 с f_в=50 Гц в одностороннем представлении), то АКФ сигнала определится выражением:

B_s(t) = (W_o/p)cos(wt) dw = (W_ow_в/p) sin(w_вt)/(w_вt).

Рис. 6.9

Интервалом корреляции сигнала t_к считается величина ширины центрального пика АКФ от максимума до первого пересечения нулевой линии. В данном случае для прямоугольного спектра с верхней граничной частотой w_в первое пересечение нуля соответствует sinc(w_вt) = 0 при w_вt = p, откуда:

t_к = p/w_в =1/2f_в. (6.23)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. Для сигналов с плавным срезом по верхней граничной частоте роль параметра w_в играет средняя ширина спектра (сигнал 2 на рис. 6.9).

Спектральная плотность мощности статистических шумов при единичном измерении представляет собой случайную функцию W_q(w) со средним значением W_q(w) Þ s_q², где s_q² – дисперсия шумов. В пределе, при равномерном спектральном распределении шумов от 0 до ¥, АКФ шумов стремится к значению B_q(t) Þ s_q² при t Þ 0, B_q(t) Þ 0 при t ¹ 0, т.е. статистические шумы не коррелированны (t_к Þ 0).

Практические вычисления АКФ финитных сигналов обычно ограничиваются интервалом сдвигов t = {0, (3-5)t_k}, в котором, как правило, сосредоточена основная информация по автокорреляции сигналов.

Спектральная плотность ВКФ может быть получена на основании тех же соображений, что и для АФК, или непосредственно из формулы (6.20) заменой спектральной плотности сигнала S(w) на спектральную плотность второго сигнала U(w):

B_su(t) = (1/2p)S*(w) U(w) exp(jwt) dw. (6.24)

Или, при смене порядка сигналов:

B_us(t) = (1/2p)U*(w) S(w) exp(jwt) dw. (6.24')

Произведение S*(w)U(w) представляет собой взаимный энергетический спектр W_su(w) сигналов s(t) и u(t). Соответственно, U*(w)S(w) = W_us(w). Следовательно, как и АКФ, взаимнокорреляционная функция и спектральная плотность взаимной мощности сигналов связаны между собой преобразованиями Фурье:

B_su(t) Û W_su(w) º W*_us(w). (6.25)

B_us(t) Û W_us(w) º W*_su(w). (6.25')

В общем случае, за исключением спектров четных функций, из условия несоблюдения четности для функций ВКФ следует, что взаимные энергетические спектры являются комплексными функциями:

U(w) = A_u(w) + j B_u(w), V(w) = A_v(w) + j B_v(w).

W_uv = A_uA_v+B_uB_v+j(B_uA_v - A_uB_v) = Re W_uv(w) + j Im W_uv(w),

и содержат определенную фазовую характеристику гармонических составляющих ВКФ, которой и формируется сдвиг максимума ВКФ.

На рис. 6.10 можно наглядно видеть особенности формирования ВКФ на примере двух одинаковых по форме сигналов, сдвинутых относительно друг друга.

Рис. 6.10. Формирование ВКФ

Форма сигналов и их взаимное расположение приведены на виде А. Модуль и аргумент спектра сигнала s(t) приведены на виде В. Модуль спектра u(t) тождественен модулю S(w). На этом же виде приведен модуль спектра взаимной мощности сигналов S(w)U*(w). Как известно, при перемножении комплексных спектров модули спектров перемножаются, а фазовые углы складываются, при этом для сопряженного спектра U*(w) фазовый угол меняет знак. Если первым в формуле вычисления ВКФ (6.14) стоит сигнал s(t), а сигнал u(t-t) на оси ординат стоить впереди s(t), то фазовые углы S(w) по мере увеличения частоты нарастают в сторону отрицательных значений углов (без учета периодического сброса значений на 2p), а фазовые углы U*(w) по абсолютным значениям меньше фазовых углов s(t) и нарастают (за счет сопряжения) в сторону положительных значений. Результатом умножения спектров (как это видно на рис. 6.10, вид С) является вычитание из фазовых углов S(w) значений углов U*(w), при этом фазовые углы спектра S(w)U*(w) остаются в области отрицательных значений, что обеспечивает сдвиг всей функции ВКФ (и ее пиковых значений) вправо от нуля по оси t на определенную величину (для одинаковых сигналов – на величину разности между сигналами по оси ординат). При смещении начального положения сигнала u(t) в сторону сигнала s(t) фазовые углы S(w)U*(w) уменьшаются, в пределе до нулевых значений при полном совмещении сигналов, при этом функция B_su(t) смещается к нулевым значениям t, в пределе до обращения в АКФ (для одинаковых сигналах s(t) и u(t)).

Как известно для детерминированных сигналов, если спектры двух сигналов не перекрываются и, соответственно, взаимная энергия сигналов равна нулю, такие сигналы ортогональны друг другу. Связь энергетических спектров и корреляционных функций сигналов показывает еще одну сторону взаимодействия сигналов. Если спектры сигналов не перекрываются и их взаимный энергетический спектр равен нулю на всех частотах, то при любых временных сдвигах t друг относительно друга их ВКФ также равна нулю. А это означает, что такие сигналы являются некоррелированными. Это действительно как для детерминированных, так и для случайных сигналов и процессов.

Дата добавления: 2014-01-03