Интеграл Лебега-Стилтьеса

Пусть задано вероятностное пространство . Рассмотрим в нем ограниченную случайную величину то есть существует такое число , что .

Разобьем множество значений функции произвольным образом на части точками . Рассмотрим i-й кусок разбиения [], обозначим .

 

(18)

Тогда интеграл Лебега—Стилтьеса определяется следующим образом:

если предел существует.

Этот предел не зависит ни от способа разбиения множества значений случайной величины, ни от выбора точек .

 

Интеграл Лебега—Стилтьеса можно представить в другой форме. Для этого рассмотрим:

(19)

значит,

(20)

В дискретном случае

где — значения случайной величины .

Если F абсолютно непрерывная функция распределения случайной величины , а f ее плотность распределения вероятностей, то