Характеристика степенных средних величин

Вид средней	Порядок расчёта	Характеристика
1. Средняя арифметическая	В целом – отношение общей величины признака к объёму совокупности	Среднее значение признака на единицу совокупности   Например, средний балл за экзамен по группе студентов на основе данных экзаменационной ведомости.   Например, средний уровень денежных доходов на душу населения по данным группировки населения по уровню денежных доходов
1.1. простая (используется для не сгруппированных данных) , где хi – значение признака у i-й единицы совокупности; n – численность совокупности
1.2. взвешенная (используется для сгруппированных данных) , где fi – численность i-й группы (вес или частота варианта хi, т.е. число повторений данного значения признака). Если в группировке даны частости (d), то средняя рассчитывается следующим образом: . где - частость, т.е. доля каждой частоты в сумме всех частот. Если частости измеряются в долях единицы, то и
2. Средняя гармоническая (используется в ситуациях, когда известны не частоты или частости, а общий объем признака, равный произведению значений признака на частоты)	2.1. простая   Используется, когда равны веса, т.е. произведения частот на значения признака	Например, при одинаковой продолжительности рабочего времени у двух рабочих время на выполнение одного заказа различно. Среднее время выполнения одного заказа можно определить только по гармонической простой
2.2. взвешенная	Например, известны цены за единицу продукции и стоимость реализованной продукции за период. Определить среднюю цену можно только так.
3. Средняя геометрическая (используется для определения среднего значения относительного показателя динамики)	3.1. цепной способ , где К1^ц, …, Кn^ц – последовательные цепные относительные величины динамики (коэффициенты роста); n – число коэффициентов	Например, среднегодовые темпы роста производства за 2005-2010 гг.
3.2. базисный способ , где y1 и ym – соответственно первый и последний значения ряда динамики; m – число уровней (значений) в ряду динамики. Произведение последовательных цепных коэффициентов роста (относительных величин динамики) равно базисному коэффициенту роста (относительной величине динамики) за весь период
4. Средняя квадратическая (применяется для расчёта средних величин, имеющих квадратичную размерность, например средняя размерность площади)	4.1. простая (для несгруппированных данных)	Чаще всего используется при расчёте средних показателей вариации, но не из значений х, а из их отклонений от средней величины () (среднее квадратическое отклонение)
4.2. взвешенная (для сгруппированных данных)
5. Средняя кубическая (применяется для расчёта средних величин, имеющих кубическую размерность, например средняя диаметр труб)	5.1. простая (для несгруппированных данных)	Например, при определении средней длины стороны n кубов
5.2. взвешенная (для сгруппированных данных)

Одной из наиболее распространённых в практике социально-экономического анализа является средняя арифметическая величина. Её широкое использование определено широким распространением свойства аддитивности многих признаков, т.е. возможности определения общей величины признака путём простого суммирования отдельных значений. В общем виде значение средней определяется как отношение общего значения признака к объёму совокупности.

При расчёте средней арифметической для интервальных рядов распределения сначала находят середины интервалов, а затем используют формулу средней арифметической взвешенной:

,

где х_инт – середина соответствующего интервала ().

При таком исчислении средневзвешенной величины допускается некоторая неточность, поскольку предполагается, что внутри каждой группы единицы совокупности распределяются равномерно. Эта неточность будет тем меньше, чем меньше величина интервала и больше единиц совокупности в группе. При этом открытые интервалы (первый и последний) необходимо превратить в закрытые интервалы. Для этого величины открытых интервалов условно приравниваются к примыкающим к ним интервалам. В частности, первый интервал «закрывается» на основе второго интервала, а последний – на основе предпоследнего интервала.

Например, имеются следующие данные о результатах сдачи вступительных экзаменов абитуриентами (табл. 8).

Таблица 8

Дата добавления: 2014-01-03