Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Основные понятия теории множеств


План

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Лекция 3

Метод изложения учебного материала дедуктивный - от общего к частному.

1. Обобщенная модель инструментальных математических средств

2. Представление (описание) моделей на основе теоретико-множественного языка.

3. Представление отношений и связей методами алгебры отношений.

П Р А Г М А Т И К А
Вычислительная математика Геометрия, математический анализ, теория чисел и др.
Интерпретационная математика Теория множеств, математическая логика и др.
Метаматематика Теория доказательств, теория категорий
Решение частных вычислительных задач, в том числе, оптимального управления и прогнозирования в экономике, строительстве, радиоэлектронике, экологии и т.д.
Математическое обеспечение интеллектуальных информационных, в том числе геоинформационных и других технологий.

Рис. 1. Обобщенная структура методической базы современной

математики и ее прагматическая значимость

 

 

Теоретико-множественный язык является основой не только дискретной математики, но и математики в целом.

Основатель теории множеств Георг Кантор понятие «множество» определял так: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Это, довольно расплывчатое понятие уточнила группа выдающихся ученых математиков, выступавших под псевдонимом Никола Бурбаки, которые в своем Трактате «Начала математики» сформулировали следующее определение: «Множество образовано из элементов, способных обладать некоторыми свойствами и находиться между собой или с элементами других множеств в некоторых отношениях».

Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами, а их элементы прописными, например, запись обозначает, что множество А состоит их n элементов. Например, А – множество обучающихся в учебной группе, - конкретные обучающиеся учебной группы в количестве n человек. Более коротко эту же запись можно представить в виде . Принадлежность некоторого элемента множеству обозначается символом . В случае если элемент не принадлежит некоторому множеству, используют символ или . Например, обучающийся, значащийся под №2 в журнале ( ) учебной группы А является отличником. Формально такую ситуацию можно записать



По аналогии, обучающийся ( ) отсутствует в списке журнала учебной группы А. Тогда справедлива запись .

Два множества А и В равны (тождественны), тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и обратно. В этом случае справедлива запись .

Множество может содержать любое число элементов, в том числе один элемент – единичное (одноэлементное) множество, и вовсе не содержать элементов (пустое множество), которое обозначается символом . Понятие пустого множества в теории множеств аналогично понятию нуля в элементарной арифметике. Это понятие используется для определения заведомо несуществующей совокупности элементов.

Множества могут быть конечными (т.е. состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Число элементов в конечном множестве, например А, называют кардинальным числом и обозначают Card A. Эквивалентным понятием является понятие «мощность множества», которое обозначается . В случае с множеством обучающихся в учебной группе А, справедливы записи или , где n – количество обучающихся в учебной группе учащихся.

Важным понятием теории множеств является подмножество. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству В, называется подмножеством (частью) множества В. Такое отношение между элементами множеств называют строгим включением и обозначают символом или , т.е. (элементы А включены в В) или (В включает А). Отношение строгого включения допускает и тождественность , т.е. любое из двух множеств можно рассматривать как подмножество самого себя . Считают, что подмножеством любого множества является пустое множество , т.е. .

Наряду с записью в литературе встречается запись , что обозначает нестрогое включение элементов подмножества А в множество В. В этом случае равенство между А и В не допускается. Иллюстрацией отношения включения может служить ситуация, когда конкретный обучающийся, например, переходит из одной учебной группы (составляющих множество В) в другую (составляющую множество А) и его фамилию исключают из одного списка учебного журнала и помещают в другой. Тогда справедлива запись , , где знак соответствует отношению исключения.

Отметим различия между отношением принадлежности и отношением включения. Уже отмечалось, множество А может быть своим подмножеством , но оно не может входить в состав своих элементов . Даже в случае одноэлементного подмножества различают множество и его единственный элемент «а». Отношение включения обладает свойством транзитивности: если и , то . Отношение принадлежности этим свойством не обладает.

Большое значение при формализации предметной области на теоретико-множественном языке играет способ задания множеств. Существует несколько способов задания множеств. Самый элементарный способ задания множества заключается в простом перечислении его элементов, как это было показано выше. Другой способ задания множества состоит в описании его элементов с указанием их общих свойств. В данном случае при формализации используют следующие записи или , где в теории множеств называется формой, которая указывает на свойства элементов x.

Фундаментальным в теории множеств является понятие основного множества (универсума), которое обозначается буквой U. Оно служит для того, чтобы ограничить совокупность допустимых объектов в процессе формализации предметной области. Например, в исследуемой предметной области из множества взрослого населения (U) можно выделить множество людей занятых в сфере образования, из множества учебной литературы (U) можно выделить множество методической литературы, используемой для подготовки специалистов в технических вузах и т.д. Другими словами универсумом определяются рамки задания соответствующих множеств.



<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Все, что говорит психолог, обмены репликами с обследуемым, вопросы обследуемого и ответы психолога, вопросы психолога и ответы обследуемого | Операции над множествами

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 755; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.