Основные понятия теории множеств

План

ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Лекция 3

Метод изложения учебного материала дедуктивный - от общего к частному.

1. Обобщенная модель инструментальных математических средств

2. Представление (описание) моделей на основе теоретико-множественного языка.

3. Представление отношений и связей методами алгебры отношений.

П Р А Г М А Т И К А

Вычислительная математика Геометрия, математический анализ, теория чисел и др.

Интерпретационная математика Теория множеств, математическая логика и др.

Метаматематика Теория доказательств, теория категорий

Решение частных вычислительных задач, в том числе, оптимального управления и прогнозирования в экономике, строительстве, радиоэлектронике, экологии и т.д.

Математическое обеспечение интеллектуальных информационных, в том числе геоинформационных и других технологий.

Рис. 1. Обобщенная структура методической базы современной

математики и ее прагматическая значимость

Теоретико-множественный язык является основой не только дискретной математики, но и математики в целом.

Основатель теории множеств Георг Кантор понятие «множество» определял так: «Под множеством понимают объединение в одно общее объектов, хорошо различимых нашей интуицией или нашей мыслью». Это, довольно расплывчатое понятие уточнила группа выдающихся ученых математиков, выступавших под псевдонимом Никола Бурбаки, которые в своем Трактате «Начала математики» сформулировали следующее определение: «Множество образовано из элементов, способных обладать некоторыми свойствами и находиться между собой или с элементами других множеств в некоторых отношениях».

Множества, как правило, обозначаются заглавными буквами, а их элементы прописными, например, запись обозначает, что множество А состоит их n элементов. Например, А – множество обучающихся в учебной группе, - конкретные обучающиеся учебной группы в количестве n человек. Более коротко эту же запись можно представить в виде. Принадлежность некоторого элемента множеству обозначается символом. В случае если элемент не принадлежит некоторому множеству, используют символ или. Например, обучающийся, значащийся под №2 в журнале () учебной группы А является отличником. Формально такую ситуацию можно записать

По аналогии, обучающийся () отсутствует в списке журнала учебной группы А. Тогда справедлива запись.

Два множества А и В равны (тождественны), тогда и только тогда, когда каждый элемент А является элементом В и обратно. В этом случае справедлива запись.

Множество может содержать любое число элементов, в том числе один элемент – единичное (одноэлементное) множество, и вовсе не содержать элементов (пустое множество), которое обозначается символом. Понятие пустого множества в теории множеств аналогично понятию нуля в элементарной арифметике. Это понятие используется для определения заведомо несуществующей совокупности элементов.

Множества могут быть конечными (т.е. состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Число элементов в конечном множестве, например А, называют кардинальным числом и обозначают Card A. Эквивалентным понятием является понятие «мощность множества», которое обозначается. В случае с множеством обучающихся в учебной группе А, справедливы записи или, где n – количество обучающихся в учебной группе учащихся.

Важным понятием теории множеств является подмножество. Множество А, все элементы которого принадлежат и множеству В, называется подмножеством (частью) множества В. Такое отношение между элементами множеств называют строгим включением и обозначают символом или, т.е. (элементы А включены в В) или (В включает А). Отношение строгого включения допускает и тождественность, т.е. любое из двух множеств можно рассматривать как подмножество самого себя. Считают, что подмножеством любого множества является пустое множество, т.е..

Наряду с записью в литературе встречается запись, что обозначает нестрогое включение элементов подмножества А в множество В. В этом случае равенство между А и В не допускается. Иллюстрацией отношения включения может служить ситуация, когда конкретный обучающийся, например, переходит из одной учебной группы (составляющих множество В) в другую (составляющую множество А) и его фамилию исключают из одного списка учебного журнала и помещают в другой. Тогда справедлива запись,, где знак соответствует отношению исключения.

Отметим различия между отношением принадлежности и отношением включения. Уже отмечалось, множество А может быть своим подмножеством, но оно не может входить в состав своих элементов. Даже в случае одноэлементного подмножества различают множество и его единственный элемент «а». Отношение включения обладает свойством транзитивности: если и, то. Отношение принадлежности этим свойством не обладает.

Большое значение при формализации предметной области на теоретико-множественном языке играет способ задания множеств. Существует несколько способов задания множеств. Самый элементарный способ задания множества заключается в простом перечислении его элементов, как это было показано выше. Другой способ задания множества состоит в описании его элементов с указанием их общих свойств. В данном случае при формализации используют следующие записи или, где в теории множеств называется формой, которая указывает на свойства элементов x.

Фундаментальным в теории множеств является понятие основного множества (универсума), которое обозначается буквой U. Оно служит для того, чтобы ограничить совокупность допустимых объектов в процессе формализации предметной области. Например, в исследуемой предметной области из множества взрослого населения (U) можно выделить множество людей занятых в сфере образования, из множества учебной литературы (U) можно выделить множество методической литературы, используемой для подготовки специалистов в технических вузах и т.д. Другими словами универсумом определяются рамки задания соответствующих множеств.

Дата добавления: 2014-01-03