Операции над множествами

Часто в процессе формализации используют способ задания множества посредством операций над другими множествами. Для иллюстрации операций над множествами будем использовать графические образы в виде кругов Эйлера.

Объединение (сумма) есть множество всех элементов, принадлежащих А или В (см. рис.2.1). Например, для выполнения научно - исследовательской работы из учебных групп, составляющих множества обучаемых А и В были отобраны отличники и соответственно, которые составили научно-исследовательскую группу С. Формальная запись такой ситуации будет иметь следующий вид

.

Видно, что любой обучающийся составляющий группу С принадлежит хотя бы одной из учебных групп А или В.

Пересечение (произведение) есть множество всех элементов, принадлежащих одновременно как множеству А, так и В (см. рис.2.1). Например, кафедра имеет две предметно-методические комиссии, которые составляют соответствующие множества и научно-педагогические работники. В первой предметно-методической комиссии, имеется высококвалифицированный преподаватель, а во второй, которые могут с высоким качеством проводить занятия по всем учебным дисциплинам кафедры, не зависимо от того к какой предметно-методической комиссии они принадлежат.

Формально такую ситуацию запишем в следующем виде

.

Показательным примером операции пересечения в педагогической практики является дублирование учебного материала по различным дисциплинам, т.е. один и тот же материал по сущности (может быть разный по форме изложения) составляет учебные вопросы разных дисциплин, что приводит к необоснованным затратам учебного времени.

Операции объединения и пересечения множеств обладают свойствами коммутативности и ассоциативности и, следовательно, их можно выполнять последовательно для нескольких множеств, причем порядок следования множеств не влияет на результат. В таком случае справедлива обобщающая запись операций объединения и пересечения множеств. Например,

,.

Разность А\В = С есть множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. (см. рис. 2). Например, С – множество дисциплин учебного плана имеющих логическую связь друг с другом, за исключением двух выборочных. Формально можно записать. - множество дисциплин принадлежащих учебному плану, кардинальное число которого равно 53 (мощность множества); - множество выборочных учебных дисциплин того же учебного плана (). В развернутом виде разность множеств имеет вид

\.

Следует отметить особенности рассматриваемой операции. Во-первых, в отличие от операций объединения и пересечения множеств, операция разность строго двухместна, т.е. определена только для двух множеств. Во-вторых, некоммутативная, т.е. А\В \А. Если А\В =, то.

Дизъюнктивная сумма (симметрическая разность) есть множество всех элементов, принадлежащих или А или В, но не обоим вместе (см. рис. 2).

Дизъюнктивная сумма получается объединением элементов множеств за исключением тех, которые встречаются дважды. Например, преподаватель, проверяя множество контрольных работ, классифицирует их по вариантам А и В. Работы содержащие признаки вариантов А и В преподаватель не проверяет, а выставляет сразу неудовлетворительную оценку. Формально такая ситуация записывается в следующем виде - множество контрольных работ, ответы которых должны соответствовать варианту А, где элемент множества содержит признаки ответов варианта В; - множество контрольных работ, ответы которых должны соответствовать варианту В, где элемент содержит признаки ответов варианта А. Тогда справедлива запись

.

Дата добавления: 2014-01-03