Энергетический фильтр

.............

h_oR_q(M)+ h₁R_q(M-1)+ h₂R_q(M-2)+..... + h_MR_q(0) = S(0).

При задании t_i по центру симметричных входных сигналов можно получить симметричные двусторонние фильтры, не изменяющие фазы сигнала, что удобно для цифровой обработки данных.

На рис. 12.5.1 приведен пример фильтрации фильтром обнаружения сигнала радиоимпульса (информационный сигнал) в сумме с шумами (входной сигнал) при отношении сигнал/шум по средним амплитудным значениям на входе фильтра порядка 1. Аналогичное отношение сигнал/шум на выходе фильтра повышается до 7 по интервалу полезного сигнала в целом, и превышает 8 в центральной части интервала сигнала.

Рис. 12.5.1. Фильтр обнаружения сигнала.

Эффективность фильтра. Из выражения (12.5.5) можно видеть, что фильтр имеет максимальный коэффициент передачи на частотах доминирования сигнала и минимальный коэффициент передачи на частотах доминирования помех. Синфазность суммирования всех частотных составляющих выходного сигнала обеспечивает максимальную амплитуду выходного сигнала в заданный момент времени t_i. Значение максимальной амплитуды можно оценить, приняв t_i=0, при этом выходной сигнал:

y(0)ó S(w) H(w) == .

Коэффициент передачи фильтра прямо определяется спектром подлежащего обнаружению сигнала, его формой и длительностью. Для оценки эффективности фильтра зададим входной сигнал в виде прямоугольного импульса амплитудой u₀ длительностью t на интервале 0-t. Спектральная плотность прямоугольного импульса при интегральном преобразовании Фурье:

П(w) = (1-exp(-jwt))/jw, П*(w) = (exp(jwt)-1)/jw.

При подстановке в (12.5.4'), принимая W_q(w) = const, коэффициент передачи фильтра:

H(w) = a[(exp(jwt)-1)exp(-jwt]/jw = a(1-exp(-jwt))/jw,

где a - коэффициент пропорциональности с размерностью, обратной спектральной плотности, для получения безразмерных значений коэффициента H(w). При a=1 (нормировка оператора фильтра производится, как правило, по коэффициенту усиления постоянной составляющей входного сигнала) сигнал на выходе фильтра:

u_вых(t) = (u₀/2p)П(w)H(w) dw = (u₀/2p)(1-exp(-jwt))² exp(jwt) dw,

u_вых(t) = U₀{t|_t>0 – 2(t-t)|_t>t + (t-2t)|_t>2t}.

Рис. 12.5.2.

Как можно видеть на рис 12.5.2, выходной сигнал для входного прямоугольного импульса представляет собой треугольный импульс длительностью 2t по основанию с максимальным значением амплитуды на концевой части входного импульса. Это определяется тем, что при W_q(w)=1 оператор фильтра полностью повторяет форму входного сигнала (прямоугольного импульса), а выходной сигнал в отсутствие шумов представляет собой свертку двух одинаковых импульсов, максимальное значение которой достигается при полном входе сигнала в оператор фильтра (t=t) и равно полной энергии входного импульса:

U₀ =п(t)·h(t) dt =п(t)² dt = u₀²·t.

Значение U₀ определяется нормировкой оператора фильтра a. Что касается усиления дисперсии (мощности) шумов, то, как известно, дисперсия шума на выходе фильтра равна входной дисперсии входных шумов s², умноженной на интеграл квадрата импульсного отклика фильтра (для цифровых систем – сумма квадратов коэффициентов оператора фильтра):

s²_вых = s²h²(t) dt = (s²/2p)|H(w|² dw.

Для вычисления интеграла модуль передаточной функции фильтра для прямоугольного импульса может быть представлен в виде интегрального синуса:

|H(w|² dw = 2t u₀²sinc²(wt/2) d(wt/2) = 2p u₀² t.

Дисперсия шумов на выходе:

s²_вых = s²u₀²t.

С использованием этого выражения для отношения мощности сигнала к мощности шума для сигналов на входе и выходе фильтра имеем:

r_вх = u₀²/s², r_вых = u₀⁴t²/s²u₀²t = u₀²t/s².

Соответственно, для отношения амплитудных значений сигнала к среднеквадратическим значениям шума:

r_вх = u₀/s, r_вых = (u₀/s).

Отсюда следует, что эффективность фильтра тем выше, чем больше длительность взаимодействия сигнала с оператором фильтра. Усечение размеров фильтра будет приводить к понижению его эффективности. Фильтр жестко настраивается под форму сигнала, и любое изменение формы сигнала также понижает его эффективность.

Отметим также, что коэффициент передачи фильтра тем больше и эффективность его работы тем выше, чем больше различия в форме частотных спектров сигнала и шумов. При постоянной форме спектров сигнала и шума любой другой фильтр уступает данному фильтру, как по пиковому, так и по энергетическому отношению сигнал/шум на выходе фильтра.

Согласованный фильтр. При помехах типа белого шума W_q(w) = s² и H(w) = S*(w)/s². Постоянный множитель 1/s² может быть опущен. Частотная характеристика фильтра определяется только спектром сигнала, при этом:

h(n) = s(-n). (12.5.7)

Фильтр получил название согласованного (по частотной характеристике со спектром сигнала). Он мало эффективен при коротком импульсном или длинном гармоническом сигнале.

Обратный фильтр. Допустим, что помеха имеет такой же частотный состав, что и полезный сигнал, т.е.:

W_q = s² |S(w)|².

Выделение полезного сигнала в таких условиях весьма сомнительно. Тем не менее, определим оптимальный фильтр:

H(w) = S*(w) / [s² |S(w)|²] = 1 / [s² S(w)]. (12.5.8)

Выражение (12.5.8) с точностью до постоянного множителя соответствует фильтру сжатия сигнала. Но если согласованный фильтр и фильтр сжатия рассматривать в качестве предельных случаев при полной неопределенности характеристики помех, то в качестве модели помех можно принять их суперпозицию:

W_q = a² |S(w)|²+b².

Подставляя это выражение в (12.5.5), с точностью до множителя получаем:

H(w) = S*(w) / [|S(w)|²+g²], (12.5.9)

где g = b/a - отношение дисперсий шума и сигнала. Фильтр стремится к согласованному при больших g, и к обратному (фильтру сжатия) при малых.

Энергетический фильтр максимизирует отношение сигнал/помеха по всей длине фильтра (а не в отдельной точке), и если сигнал по своей протяженности укладывается в окно фильтра, то тем самым обеспечивается оценка формы сигнала. Фильтр занимает промежуточное положение между фильтром воспроизведения сигнала Колмогорова- Винера и согласованным фильтром и требует задания корреляционных функций сигнала и помех. Сигнал может быть представлен и в детерминированной форме с соответствующим расчетом его автокорреляционной функции.

Критерий оптимальности. Энергия сигнала на выходе фильтра:

E_sh = S_k s_k² = S_k (S_n h_n s_k-n)² = S_k h_k S_n h_n R_s(k-n), (12.6.1)

где R_s- функция автокорреляции сигнала. В векторной форме:

E_sh = . (12.6.2)

Аналогично, выражение для энергии помех на выходе:

E_qh = S_k h_k S_n h_n R_q(k-n) = , (12.6.3)

где R_q - функция автокорреляции помех. При некоррелированной помехе E_qh = s².

Подставим (12.6.2, 12.6.3) в выражение (12.2.4):

r = / . (12.6.4)

Расчет векторов операторов фильтров. Для определения значений вектора продифференцируем r по , и приравняем производную к нулю:

.

. (12.6.5)

В системе уравнений (12.6.5) неизвестны собственные значения r матрицы и значения коэффициентов h_n, при этом система имеет N+1 ненулевых решений относительно значений r и соответствующих этим значениям векторов . Для определения коэффициентов фильтра приравнивается к нулю и решается относительно r определитель матрицы , после чего максимальное значение r_max подставляется в (12.6.5) и система уравнений решается относительно коэффициентов h_i вектора . При фильтрации сигнала вектор обеспечивает выделение первой по мощности главной компоненты сигнала, т.е. составляющей сигнала, которая имеет наибольшую энергию и отношение сигнал/шум. В сложных геофизических полях такая компонента, как правило, соответствует региональному фону.

В принципе, расчет может быть продолжен и для других значений r<r_max, и определены значения коэффициентов векторов , и т.д., с использованием которых могут выделяться вторая и прочие компоненты сигнала. Наиболее эффективно такой метод используется для разделения сигналов (полей) при некоррелированных помехах. В этом случае корреляционная матрица помех является единичной (единицы по диагонали, остальное - нули) и уравнение (12.6.5) имеет вид:

. (12.6.6)

В развернутой форме:

h_o(R_s(0)-r)+ h₁R_s(1)+ h₂R_s(2)+ h₃R_s(3)+...+ h_MR_s(M) = 0,

h_oR_s(1)+ h1(Rs(0)-r)+ h₂R_s(1)+ h₃R_s(2)+...+ h_MR_s(M-1) = 0,

h_oR_s(2)+ h₁R_s(1)+ h₂ (Rs(0)-r)+ h₃R_s(1)+...+ h_MR_s(M-2) = 0,

Дата добавления: 2014-01-03