Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!

Как вычислить факториал?

В условие (16) входит r!; этот-то факториал и «мешает» нам. Вспомним, что факториал фигурирует в выражении для биномиальных коэффициентов ¹⁰: при t ≥ r

(

t r

) =

t(t – 1)... (t – r + 1) r!

,

то есть

r! =

t(t – 1)... (t – r + 1) (tr)

.

Многочлен, стоящий в числителе, имеет довольно сложную структуру. Попытаемся заменить его более простым — а именно, многочленом t^r. При t ≥ r имеем:

t^r (tr)

=

t^r t(t – 1)... (t – r + 1)

· r! =

=

(

1 +

t – 1

)(

1 +

t – 2

)

·... ·

(

1 +

r – 1 t – r + 1

)

· r! ≥ r!.

(19)

Легко видеть, что

r! =

lim t→∞

t^r (tr)

,

(20)

однако эта запись факториала нам ничего не даст, поскольку t, будучи параметром в искомой системе уравнений, сможет принимать любые, сколь угодно большие, но конечные значения. Но мы и не будем переходить к пределу, а воспользуемся целочисленностью r! — из (19) и (20) следует, что при достаточно больших t

r! =

t^r (tr)

.

(21)

Лемма 4. Формула (21) верна как только t≥2r^r+2.

Лемма 4 позволяет преобразовать условие (16) в эквивалентную ему относительно параметров r и s систему (проверьте эквивалентность!)

ì ï í ï î

t = 2r^r^+2, c = (tr), t^r = s·c + (x3 – 1), (x3 – 1) + x4 = c.

(22)

(23)

(24)

(25)

Здесь условия (22), (24) и (25) имеют требуемый вид, и нам остаётся лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентных условию (23) относительно параметров r, t и c.

Итак, нам осталось «избавиться» от биномиального коэффициента.

Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользуемся теперь тем, что

	t
(u + 1)^t =	∑	(ti)	u^i.
	i=0

(26)

Эта формула является определением биномиальных коэффициентов, если рассматривать её как тождество относительно u. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной, принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение.

Заметим, что

	t
(ti)	≤	∑	(ti)	= (1 + 1)^t = 2^t,
	i=0

(27)

и, таким образом, если

u > 2^t,

(28)

то (t0), (t1),..., (tt) — это цифры в записи числа (u+1)^t в позиционной системе счисления с основанием u. Следовательно, биномиальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении u.

Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительно параметров r, t, c системе условий

ì ï í ï î

u = 2^t + 1, x5 = u + 1, x5^t = x6u^r^+1 + cu^r + x7, x7 + x8 = u^r, c + x9 = u.

(29) (30) (31) (32) (33)

Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.

Итак, мы показали, что условие (11) эквивалентно относительно параметра p системе, состоящей из экспоненциально диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29)–(33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r, s, t, c и u в x₁₀, x₁₁, x₁₂, x₁₃, x₁₄, объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1 это уравнение к искомому виду (10).

Дата добавления: 2014-01-03