Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!


Как вычислить факториал?

В условие (16) входит r!; этот-то факториал и «мешает» нам. Вспомним, что факториал фигурирует в выражении для биномиальных коэффициентов 10: при t ≥ r

( t r ) =
t(t – 1) ... (t – r + 1) r! ,

 

то есть

r! = t(t – 1) ... (t – r + 1) (tr) .

 

Многочлен, стоящий в числителе, имеет довольно сложную структуру. Попытаемся заменить его более простым — а именно, многочленом tr. При t ≥ r имеем:

 

tr (tr) = tr t(t – 1) ... (t – r + 1) · r! =

 

= ( 1 + t – 1 )( 1 + t – 2 ) · ... · ( 1 + r – 1 t – r + 1 ) · r! ≥ r!.
(19)

 

Легко видеть, что

r! = lim t→∞ tr (tr) ,
(20)

 

однако эта запись факториала нам ничего не даст, поскольку t, будучи параметром в искомой системе уравнений, сможет принимать любые, сколь угодно большие, но конечные значения. Но мы и не будем переходить к пределу, а воспользуемся целочисленностью r! — из (19) и (20) следует, что при достаточно больших t

r! =   tr (tr)   .
(21)

 

Лемма 4. Формула (21) верна как только t≥2rr+2.

Лемма 4 позволяет преобразовать условие (16) в эквивалентную ему относительно параметров r и s систему (проверьте эквивалентность!)

ì
ï
í
ï
î
t = 2rr+2,
c = (tr),
tr = s · c + (x3 – 1),
(x3 – 1) + x4 = c.
(22)
(23)
(24)
(25)

Здесь условия (22), (24) и (25) имеют требуемый вид, и нам остаётся лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентных условию (23) относительно параметров r, t и c.

Итак, нам осталось «избавиться» от биномиального коэффициента.

Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользуемся теперь тем, что

  t  
(u + 1)t = (ti) ui.
  i=0  
(26)

Эта формула является определением биномиальных коэффициентов, если рассматривать её как тождество относительно u. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной, принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение.

Заметим, что

  t  
(ti) (ti) = (1 + 1)t = 2t,
  i=0  
         
(27)

и, таким образом, если



u > 2t, (28)

 

то (t0), (t1), ..., (tt) — это цифры в записи числа (u+1)t в позиционной системе счисления с основанием u. Следовательно, биномиальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении u.

Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительно параметров r, t, c системе условий

ì
ï
í
ï
î
u = 2t + 1,
x5 = u + 1,
x5t = x6ur+1 + cur + x7,
x7 + x8 = ur,
c + x9 = u.
(29) (30) (31) (32) (33)

Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.

Итак, мы показали, что условие (11) эквивалентно относительно параметра p системе, состоящей из экспоненциально диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29)–(33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r, s, t, c и u в x10, x11, x12, x13, x14, объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1 это уравнение к искомому виду (10).

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Что такое простое число? | Дальнейшие шаги

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 345; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.