Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ


Вопросы

1.Свободные колебания в LC-контуре. Дифференциальное уравнение свободных колебаний и его решение.

2. Свободные затухающие колебания. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний и его решение.

3. Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

4. Резонанс напряжений и резонанс токов.

 

1. Электромагнитными колебаниями называются периодические изменения во времени значений силы тока и напряжения в электрической цепи, а также обусловленные этим взаимосвязанные колебания электрического и магнитного полей, которые описывают соответственно векторы напряженности электрического Еи магнитного Нполей. Примером электрической цепи, в которой возникают такие колебания, является электрический колебательный контур, содержащий последовательно соединенные конденсатор емкостью С, катушку индуктивностью L и резистор сопротивлением R, рис.1.

- С + I=dq/dt

φ2 φ1> φ2

R L

K Ec =-LdI/dt

 

Рис.1.

Если сопротивление R мало (R→0) электрический контур является идеальным (LC – контур). При R≠0 часть электрической энергии будет расходоваться на нагревание проводников и будет наблюдаться затухание колебательных процессов.

Свободные колебания в LC-контуре.Колебания электрического тока в контуре можно вызвать, либо сообщив обкладкам конденсатора некоторый начальный заряд q, либо возбудив в индуктивности ток. Воспользуемся первым способом. При разомкнутом ключе К зарядим конденсатор С. Между обкладками конденсатора возникнет электрическое поле, энергия которого WC = q2/2C. После замыкания ключа К емкость начнет разряжаться и в контуре потечет электрический ток I. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но возникнет и начнет увеличиваться энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность L. Энергия магнитного поля WL=LI2/2. Если R = 0, то в момент когда напряжение на конденсаторе, заряд, а следовательно и энергия WC обращаются в нуль, энергия магнитного поля WL и ток достигают наибольшего значения (начиная с этого момента ток течет за счет э.д.с. самоиндукции Ес). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках конденсатора С достигнут первоначального значения q (но противоположных знаков), сила тока в цепи станет равной нулю. После этого рассмотренные процессы начнут протекать в обратном направлении, контур вернется в исходное состояние и весь цикл повторится снова. Колебания электрического тока (заряда, напряжения) сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей.



При возрастании электрического заряда на положительно заряженной обкладке конденсатора сила тока в цепи равна

 

I = dq/dt. (1)

 

Для расчета электрической цепи запишем закон Ома, условившись, что обход контура будем совершать против часовой стрелки:

 

IR = φ1 – φ2 + EC. (2)

 

Подставив разность потенциалов между обкладками φ2 – φ1 =q/C и э.д.с. самоиндукции Ec =-LdI/dt, равенство (2) можно переписать в виде дифференциального уравнения второго порядка по отношению к заряду q=q(t) на обкладках конденсатора, и таким образом получим дифференциальное уравнение второго порядка колебаний заряда в контуре:

 

Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = 0. (3)

 

Поскольку внешние э.д.с. в контуре отсутствуют, то рассматриваемые колебания представляют собой свободные колебания.

Если учесть, что R = 0,то процесс периодического превращения электрическойэнергии в магнитную и обратно будет продолжаться неограниченно долго, и мы получим незатухающие электрические колебания. Напряжение на обкладках конденсатора меняется во времени по закону U = U0cosω0t, а ток в катушке индуктивности – I = I0cosω0t, т. е свободныеколебания в контуре являются гармоническими с частотой ω0 = 2π/Т0. Используя стандартные обозначения для собственной циклической частоты ω0 гармонических колебаний:

 

ω0 = 1/√LC, (4)

 

уравнение (3) перепишем так

 

d2q/dt2 + ω02q = 0 (3а)

 

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний электрического заряда в контуре.

Решением уравнения (3а) является функция

 

q = qmcos(ω0t + α). (5)

 

Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой ω0 = 1/√LC, которая называется собственной циклической частотой контура, она соответствует собственной частоте гармонического осциллятора.

Из (4) получаем выражение для периода колебаний (формула Томсона):

T0 = 2π√(LC). (6)

 

Используя известную формулу q = UC и (5), запишем выражение для напряжения на конденсаторе:

 

Uс = (1/C)qmcos(ω0t + α) = Um cos(ω0t + α). (7)

 

Продифференцировав функцию (5) по времени, получим выражение для силы тока в контуре:

 

I = - ω0qm sin(ω0t + α) = Im cos(ω0t + α + π/2). (8)

 

Из (8) видно, что сила тока в катушке индуктивности L опережает по фазе напряжение на конденсаторе C на π/2. Сопоставление формул (5), (7) и (8) показывает, что в момент, когда ток достигает наибольшего значения, заряд и напряжение обращаются в нуль, и наоборот, как мы уже это установили ранее, основываясь на энергетических соображениях. Амплитудные значения тока и напряжения:

 

Um=qm/C, Im = ω0qm, Um = Im√(L/C).

 

2. Свободные затухающие колебания. Поскольку всякий реальный контур обладает активным сопротивлением R≠0, это приводит к затуханию колебаний. Введем обозначение β=R/2L,где β – коэффициент затухания, тогда уравнение (3) можно переписать следующим образом

 

d2q/dt2 + 2βdq/dt + ω02q = 0. (9)

 

(9) – дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний.

При условии, что β<ω0 решение уравнения (9) для заряда q имеет вид затухающих колебаний:

 

q = qm e-βt cos(ωt + α), (10)



 

где ω = √( ω02 – β2) - частота затухающих свободных колебаний, очевидно, что ω<ω0. Таким образом, потери энергии приводят к изменению не только амплитуды колебаний, но и их частоты.

После подстановки в последнее выражение значений для ω0 и β, получим

 

ω = √(1/LC – R2/4L2). (11)

 

При R = 0 выражение (11) переходит в (4).

Колебания заряда на обкладках конденсатора происходят с периодом

Т = 2π/ω и убывающей амплитудой qm (t) = qmexp(-Rt/2L), рис.2.

 

q

 
 

 


t

 

 

Рис.2.Затухание свободных колебаний заряда в RLC- контуре.

 

Характерное время затухания электрических колебаний в контуре определяется временем релаксации

τ = 1/β = 2L/R,

т.е. индуктивность L является мерой инертности для электрических колебаний заряда, а значит, и силы тока в контуре.

Напряжение на конденсаторе пропорционально заряду q, поэтому оно изменяется синхронно с зарядом q, а сила тока в контуре

 

I = dq/dt = qm e-βt [-βcos(ωt + α) – ωsin(ωt + α)].

 

Это выражение можно преобразовать к виду

 

I = Ime-βtcos(ωt + α +Δ). (12)

 

Из (12) видно, что сила тока в контуре затухает со временем, а колебания тока происходят с некоторым опережением по фазе (Δ) относительно колебания заряда (напряжения) на конденсаторе.

Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания

 

λ = ln a(t)/a(t+T) = βT, (13)

 

где a(t) – амплитуда соответствующей величины (q, U или I). Вспомним, что λ = 1/Ne, где Ne- число колебаний, совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

Подставив в (13) значение для β=R/2Lи Т=2π/ω, получим

 

λ = (R/2L)(2π/ω) = πR/Lω, (14)

 

т.е. логарифмический декремент затухания определяется параметрами контура L, C и R и является характеристикой контура.

Если затухание невелико (β<<ω0), то в (14) можно считать ω ≈ ω0 =1/√LC. Тогда

λ ≈ (πR/L)·√(LC) = πR·√(C/L).

 

Величину √(C/L), которая имеет размерность электрического сопротивления, называют волновым сопротивлением.

Качество колебательного контура часто характеризуют его добротностьюQ, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания

 

Q = π/λ = πNe.(15)

 

Видно, что добротность контура тем больше, чем большее число колебаний он успевает совершить, прежде чем амплитуда колебаний уменьшиться в е раз. В случае слабого затухания

 

Q = (1/R)·√(L/C). (16)

 

При увеличении сопротивления контура R затухание колебаний увеличивается, коэффициент затухания растет и при β2 ≥ ω02вместо колебаний в контуре происходит апериодический разряд конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим. Значение критического сопротивления Rk определяется условием

 

Rk2/4L2 = 1/LC, (17)

откуда

Rk = 2√(L/C). (18)

 

Таким образом, условие возможности колебаний в контуре записывается в виде:

R < 2√(L/C = Rk. (19)

 

Поможем в написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Ультразвук. Источники и приемники ультразвуковых волн. Применение ультразвука | Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 727; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2022) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.041 сек.