Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний


Вынужденные электрические колебания. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний и его решение.

 

Для получения незатухающих колебаний нужно непрерывно пополнять энергию контура от внешнего источника, чтобы компенсировать потери на джоулево тепло, оказывая внешнее периодически изменяющееся воздействие, например, включив последовательно с элементами контура переменную э.д.с. (Е = Е0cosωt) или, разорвав контур, подавать на образовавшиеся контакты переменное напряжение (U = Um cosωt).

Колебания, возникающие в CLR-цепочке при наличии переменной э.д.с., называются вынужденными.

Эту э.д.с. нужно прибавить к э.д.с. самоиндукции, в результате уравнение (3) из предыдущей темы примет вид

 

Ld2q/dt2 +Rdq/dt + q/C = Е0cosωt (1)

 

Вынужденные колебания электрического заряда в цепи контура определяются частным решением этого неоднородного уравнения. Это частное решение имеет вид

 

q = qmcos(ωt - ψ), (2)

 

Установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (2), где ψ – сдвиг фаз между внешней э.д.с. и напряжением (зарядом) на конденсаторе, а

 

tg ψ = R/(1/ωC –ωL).

 

Продифференцировав выражение (2) по переменной t, получим выражение для силы тока в контуре при установившихся колебаниях

 

I = - ωqm sin(ωt - ψ) = Im cos(ωt - ψ + π/2),

 

где амплитуда силы тока в контуре

 

Im = E0/√R2 + (ωL – 1/ωC)2,

 

RL = ωL – реактивное индуктивное сопротивление,

RC = 1/ωC – реактивное емкостное сопротивление,

Х =ωL – 1/ωC – реактивное сопротивление,

Z =√R2 + (ωL – 1/ωC)2полное (эффективное) сопротивление электрической цепи (колебательного контура).

Амплитуда вынужденных колебаний зависит не только от амплитуды внешней э.д.с., но и от ее частоты ω.

Выражение для силы тока можно записать также в виде

 

I = Im cos(ωt - φ), (3)



 

где φ = ψ – π/2 –сдвиг по фазе между током в контуре и приложенной э.д.с., а

 

tgφ = tg(ψ – π/2) = - 1/tgψ = (ωL -1/ωC)/R. (4)

 

Разделив выражение (2) на емкость, получим напряжение на конденсаторе

 

UC = (qm/C) cos(ωt - ψ) = UCmcos(ωt – φ –π/2), (5)

где

UCm = qm/C = Um/ωC√ R2 + (ωL – 1/ωC)2 = Im/ωC. (6)

 

Умножив производную функции (3) на индуктивность L, получим напряжение на индуктивности

 

UL = L(dI/dt) = - ωLImsin(ωt – φ) = ULmcos(ωt – φ + π/2), (7)

 

где ULm = ωLIm.

 

Сравнивая (3), (5) и (7) видим, что напряжение на емкости отстает по фазе от силы тока на π/2, а напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Напряжение на активном сопротивлении изменяется в фазе с током. Эти же результаты можно получить с помощью векторной диаграммы, как для переменных токов. Установившиеся вынужденные электромагнитные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, содержащей L, C и R, переменного электрического тока.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ | Резонанс напряжений и резонанс токов

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 431; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.