Основы теории Максвелла для электромагнитного поля

Вопросы.

1.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле.

2. Первое уравнение Максвелла в интегральном виде.

3. Ток смещения. Второе уравнения Максвелла в интегральном виде.

4. Третье и четвертое уравнения Максвелла. Уравнения состояния.

1.Общая характеристика теории Максвелла. Вихревое магнитное поле. Ток смещения. Фундаментальные уравнения классической макроскопической электродинамики, описывающей электромагнитные явления в любой среде (и в вакууме) были получены в 60-х гг. 19 века Дж. Максвеллом на основе обобщения эмпирических законов электрических и магнитных явлений и развития идеи английского ученого М. Фарадея о том, что взаимодействия между электрически заряженными телами осуществляется посредством электромагнитного поля (явление электромагнитной индукции). Максвелл предложил уравнения, связывающие воедино электрические и магнитные явления, и предсказал существование электромагнитных волн. В теории Максвелла раскрывается электромагнитная природа света. Теория Максвелла является макроскопической, так как в ней рассматриваются поля, создаваемые макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в объемах значительно больших, чем объемы отдельных атомов и молекул.

Теория Максвелла для электромагнитного поля связывает величины, характеризующие электромагнитное поле, с его источниками, т.е. распределением в пространстве электрических зарядов и токов. Векторы Е, D, B и H электромагнитного поля в сплошной среде подчиняются уравнениям связи, которые определяются свойствами среды. Электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции, т.е. полное поле нескольких источников представляет собой векторную сумму полей, создаваемых отдельными источниками.

Рассмотрим явление электромагнитной индукции. Из закона Фарадея

Е_ин = - ∂Ф_m /∂t (1)

следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и появлению вследствие этого индукционного тока. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, проводящий контур, в котором появляется э.д.с., играет второстепенную роль, являясь лишь индикатором, обнаруживающим это поле.

2. Первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Первое уравнение Максвелла представляет собой закон индукции Фарадея. Согласно определению, э.д.с. равна циркуляции вектора напряженности электрического поля Е:

Е = ∫ E· d l, (2)

^L

которая для потенциального поля равна нулю. В общем случае изменяющегося вихревого поля для Е_ин получим

∫ E· d l = - dФ_m /dt = -∫(∂ B /∂t) d S. (3)

^{L S}

(3) – первое уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения потока вектора магнитной индукции через поверхность, ограниченную данным контуром. Знак «- «соответствует правилу Ленца для направления индукционного тока. Отсюда следует, что переменное магнитное поле создает в пространстве вихревое электрическое поле независимо от того, находится в этом поле проводник (замкнутый проводящий контур) или нет. Полученное таким образом уравнение (3) является обобщением уравнения (2), которое справедливо только для потенциального поля, т.е. электростатического поля.

3.Ток смещения и второе уравнение Максвелла в интегральной форме. Второе уравнение Максвелла в интегральной форме является обобщением на переменные поля закона Био – Савара – Лапласа о возбуждении магнитного поля электрическими токами. Максвелл высказал гипотезу, что магнитное поле порождается не только электрическими токами, текущими в проводнике, но и переменными электрическими полями в диэлектриках или вакууме. Чтобы установить количественные соотношения между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения.

Для определения понятия тока смещения рассмотрим цепь переменного тока с напряжением U и подключенным к ней конденсатором С.

I I_см

С

~U

Рис. 4.

Между обкладками заряжающегося и разряжающегося конденсатора имеется переменное электрическое поле. Согласно теории Максвелла, в тех участках электрической цепи, где отсутствуют проводники тока, токи проводимости замыкаются токами смещения I_см в диэлектрике конденсатора, причем

I = I_см = ∫j_смdS, (4)

^S

где j_см - плотность тока смещения.

То есть, переменное электрическое поле в конденсаторе (или ток смещения) в любой момент времени создает такое же магнитное поле, как если бы через конденсатор протекал ток проводимости, равный силе тока в металлических проводниках цепи.

Ток проводимости вблизи обкладок конденсатора можно записать так

I = dq/dt = (d/dt)∫σ dS = ∫(∂σ/∂t)dS = ∫(∂D/∂t)dS, (5)

^{S S S}

так как поверхностная плотность заряда σ на обкладках конденсатора равна электрическому смещению D в конденсаторе. Подынтегральное выражение в (4) можно рассматривать как частный случай скалярного произведения двух векторов (∂ D /∂t)d S, когда векторы (∂ D /∂t) и d S взаимно параллельны. Поэтому для общего случая выражение (5) можно записать так

I = ∫(∂ D /∂t)d S.

^S

Cравнивая это выражение с (4), имеем

j _см = ∂ D/ ∂t.

Направление векторов плотностей токов j и j _см совпадают с направлением вектора ∂ D /∂t.

В диэлектриках ток смещения состоит из двух слагаемых. Так как в диэлектрике вектор электрического смещения D = ε₀ E + P, где Е – напряженность электрического поля, а Р – поляризованность среды, тогда плотность тока смещения будет равна

j_см = ε₀ ∂ E/ ∂t + ∂ P /∂t, (6)

где ε₀∂ E/ ∂t – плотность тока смещения в вакууме (не связанная с движением зарядов, а обусловленная только изменением электрического поля во времени), ∂ P /∂t – плотность тока поляризации – тока, обусловленного упорядоченным движением электрических зарядов в диэлектрике (смещение зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных молекулах).

Максвелл ввел понятие полного тока. Полный ток, равный сумме тока смещения и тока проводимости, всегда является замкнутым. Плотность полного тока

j _полн = j + ∂ D /∂t. (7)

В зависимости от электропроводности среды и быстроты изменения электрического поля каждое из слагаемых в уравнении (7) дает различный вклад. В хорошо проводящих средах (металлах) и при малых скоростях изменения электрического поля ∂ D /∂t плотность тока смещения пренебрежимо мала по сравнению с плотностью тока проводимости. В плохо проводящих средах (диэлектриках) и при высоких скоростях изменения ∂ D /∂t ток смещения вносит основной вклад в полный ток.

Максвелл обобщил теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля Н, введя в нее понятие полного тока

∫ H d l =∫(j + ∂ D /∂t)d S -(8)

^{L S}

второе уравнение Максвелла: циркуляция вектора напряженности Н магнитного поля по любому замкнутому контуру L равна суммарному току проводимости, который пронизывает поверхность S, натянутую на этот контур, сложенному со скоростью изменения потока вектора электрической индукции D через эту поверхность.

Повторяем, что переменное магнитное поле может возбуждаться движущимися зарядами(электрическими токами) и переменным электрическим полем (током смещения).

Третье и четвертое уравнения Максвелла. Третье уравнение Максвелла выражает опытные данные об отсутствии магнитных зарядов (магнитное поле порождается только электрическими токами), т.е. теорема Гаусса оказалась справедливой не только для электро- и магнитостатических полей, но и для переменного во времени вихревого электромагнитного поля:

∫ D d S = q, (9)

^S

∫ B d S = 0. (10)

^S

Как видим, уравнения Максвелла не симметричны относительно электрического и магнитного полей, что обусловлено существованием в природе электрических зарядов и электрических токов проводимости, но отсутствием зарядов магнитных. Величины, входящие в уравнения Максвелла, являются зависимыми, и между ними существует следующая связь:

D = D(E), B= B(H), j = j(E). (11)

Эти уравнения называются уравнениями состояния или материальными уравнениями, они описывают электромагнитные свойства среды и для каждой конкретной среды имеют определенную форму.

Интегральные уравнения Максвелла описывают среду феноменологически, не рассматривая сложного механизма взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами среды.

От интегральных уравнений Максвелла (3), (8-10) можно перейти к системе дифференциальных уравнений. Четыре фундаментальных уравнения Максвелла в интегральной или дифференциальной формах не образуют полной замкнутой системы, позволяющей рассчитывать электромагнитные процессы при наличии материальной среды. Их необходимо дополнить соотношениями, связывающими векторы E, H, D, B и j, которые не являются независимыми. Связь между ними определяется свойствами среды и ее состоянием. Электромагнитные свойства среды определяются уравнениями, которые в общем случае очень сложны, они могут быть интегральными, тензорными и нелинейными, однако в случае изотропной однородной проводящей неферромагнитной и несегнетоэлектрической среды имеют простой вид

D = εε₀ E, B= μμ₀ H, j = σ E. (12)

Уравнения (3), (8-10) и (12) образуют полную систему уравнений электромагнитного поля в среде, решение которой при заданных граничных условиях позволяет определить векторы E, H, D, B и j и скаляр ρ (ρ -плотность распределения электрических зарядов в пространстве) в каждой точке среды с заданными ее характеристиками ε, μ, σ.

Уравнения Максвелла – наиболее общие уравнения для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. Из уравнений Максвелла следует, что переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, а переменное электрическое поле всегда связано с магнитным. Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны друг с другом, способны превращаться друг в друга и образуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла не только смогла объяснить уже известные экспериментальные факты, но и предсказала новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения, что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн – переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. Это привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.

Уравнения Максвелла описывают огромную область явлений. Они лежат в основе электротехники и радиотехники и играют важную роль в развитии таких актуальных направлений современной физики, как физика плазмы и проблема управляемого термоядерного синтеза, магнитная гидродинамика, нелинейная оптика, астрофизика и т.д.

Уравнения Максвелла неприменимы лишь при больших частотах электромагнитных волн, когда становятся существенными квантовые эффекты, т.е. когда энергия отдельных квантов электромагнитного поля – фотонов велика и в процессах участвует небольшое число фотонов.

Дата добавления: 2014-01-03