Математика в 19 веке, проблемы Гильберта и математика 20 века

Современная математика

В XIX в. начинается новый период в развитии математики — современ­ный. Интересно отметить, что к концу XVIII в. некоторые ученые утверж­дали, что область математических исследований уже в основном истоще­на, что все главное уже сделано, изложено в классических монографиях, и будущим поколениям ученых остается только решить незначительные за­дачи. Это объясняется тем, что развитие математики было связано с разви­тием механики и астрономии, и в конце XVIII в. казалось, что процесс изучения этих областей в основном завершен: законы движения уже от­крыты и соответствующий математический аппарат разработан.

Однако в XIX в. математика получила новый мощный импульс для своего развития. Расцвет естествознания — изучение магнетизма, элект­ричества, теплопроводности — потребовал расширения математического аппарата. В первой половине XIX в. в этой области было получено боль­шое число важнейших результатов. Была развита теория уравнений в частных производных, обобщены методы вариационного исчисления, разработана теория дифференцирования и интегрирования в комплекс­ной области. В XIX в. сложился аппарат разложения функций в триго­нометрические ряды, который позволил представить в виде бесконечно­го ряда всякую непрерывную функцию, тогда как аппарат степенных рядов применим только к функциям, имеющим производные всех по­рядков.

Произошли коренные изменения во всех важнейших областях мате­матики: алгебре, геометрии, математическом анализе.

Основной задачей алгебры до XIX в. было решение алгебраических уравнений. После того как в эпоху Возрождения были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степеней, математики при­ложили много усилий к отысканию аналогичных формул для решения уравнений пятой степени и выше. Однако работа в этом направлении в те­чение нескольких столетий не давала положительных результатов. Это поставило перед математикой вопрос: существуют ли вообще такие фор­мулы? Крупнейшие ученые — Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс, занимав­шиеся теорией алгебраических уравнений, — заметили, что вопрос о раз­решимости каждого уравнения сводится к изучению подстановок из его корней.

Опираясь на эти результаты, в XIX в. Н. Абель доказал теорему о том, что уравнения пятой степени и выше неразрешимы в радикалах, т. е. показал, что не существует общей формулы для решения всякого уравнения степени п при п > 5. Полное решение проблемы получено Э. Галуа, который нашел критерий, позволяющий по отношению к каж­дому конкретному уравнению решить вопрос, разрешимо это уравнение в радикалах или нет. Теория Галуа основана на изучении группы подста­новок корней уравнения.

Так в математику вошло понятие группы. В результате предмет ал­гебры значительно расширился. Если до этого изучали операции с числами — сложение, умножение, вычитание, деление, — то в конце XIX в. алгебра стала изучать умножение подстановок, сложение векто­ров, сложение движений и вообще любых преобразований.

Современная алгебра изучает общее понятие операции. Ее результаты применимы к объектам любой природы, и поэтому она находит самое ши­рокое применение как в остальных областях математики, так и в физике, химии, биологии и других науках.

Еще более существенное воздействие на развитие математики оказала геометрия Н. И. Лобачевского, развитая им к 1829 г. В течение тысячеле­тий ученые пытались доказать пятый постулат Евклида, утверждающий, что через точку, лежащую вне прямой, можно провести только одну пря­мую, параллельную данной. В XVIII в. многие ученые пытались доказать его способом от противного. Они предполагали, что постулат несправедлив, и стремились прийти к противоречию.

Н. И. Лобачевский подошел к проблеме по-новому. Он принял все пос­тулаты Евклида, кроме пятого, и присоединил к ним допущение, противо­положное пятому постулату: через точку, лежащую вне прямой, можно провести более одной прямой, каждая из которых параллельна заданной. На основе этих допущений Н. И. Лобачевский построил новую геометрию. Идеи Н. И. Лобачевского смелы и неожиданны, и они не были поняты его современниками. Новая геометрия получила признание лишь в конце XIX в. Значительный вклад в ее создание внесли К. Гаусс, Г. Риман, А. Пуанкаре и многие другие ученые.

Так математика подошла к изучению многих различных геометрий и тем самым получила аппарат не только для изучения пространства в рам­ках Евклида, но и для изучения других форм и отношений действитель­ности, сходных с пространственными. Слово пространство приобрело в математике новый смысл. Современная математика изучает пространст­во функций, векторов, пространство решений данного уравнения и др. Геометрические методы проникли во все важнейшие области математи­ки. Геометрия — мощный инструмент познания окружающего нас физи­ческого пространства.

Глубокие сдвиги произошли в XIX в. также в области математическо­го анализа. Была выяснена его логическая основа — теория пределов. Уточнение основ анализа привело математику к изучению бесконечных множеств.

Теория множеств, созданная в конце XIX в., сыграла большую роль в развитии новых идей математики. На ее основе сформировалось общее понятие функции как соответствия между множествами М и N произ­вольной природы.

В классическом математическом анализе М и N — это множества дейст­вительных чисел. В XIX в. были заложены основы более общего анализа — функционального, в котором под множеством М понимали множество функций. Были подвергнуты изучению важнейшие совокупности, или про­странства функций.

Функциональный анализ, возникший как обобщение математическо­го анализа, соединил основные методы анализа, алгебры и геометрии. Он успешно развивается в настоящее время и имеет важные практиче­ские приложения.

Функциональный анализ, теория функций и топология — три на­правления в математике, которые родились в XX в. и играют выдающую­ся роль в современной науке. Благодаря их развитию классические облас­ти (алгебра, геометрия, математический анализ, теория чисел, теория ве­роятностей) существенно обогатили свое содержание.

В XX в. А. Эйнштейн открыл теорию относительности, была создана квантовая механика. Математический аппарат для этих великих открытий был найден немецкими математиками Д. Гильбертом, Г. Минковским, французским ученым А. Пуанкаре и их последователями.

В 40-е гг. XX в. было создано новое направление в математике — теория информации. Американский ученый Н. Винер включил ее в более общую научную дисциплину, которую он назвал кибернетикой.

XX век унаследовал от прошлых времен несколько великих проблем. Самая старая из них — поставленная в XVII в. задача доказательства тео­ремы Ферма, утверждающей, что уравнение при п > 2 неразрешимо в натуральных числах. Теорема Ферма была дока­зана в 1995 г. средствами алгебраической геометрии. Вклад в доказатель­ство внесли многие математики. Но окончательно проблему решил анг­лийский математик Э. Уайлс.

В первой половине XX в. возникла идея аксиоматического постро­ения всей математики на базе теории множеств. Великий математик XX столетия, Д. Гильберт создал аксиоматику элементарной геометрии, крупнейший русский ученый А. Н. Колмогоров — аксиоматику теории вероятностей.

Подчеркнем принципиальную особенность, которая отличает математику XX в. от математики предыдущих столетий: создание электрон­ных математических машин и их математического обеспечения.

На протяжении истории человечества математика три раза получала мощные импульсы от действительного мира.

Впервые это произошло в древности. Занятия земледелием, строительством простейших сооружений, торговлей привели к созданию арифметики и геометрии.

Второй импульс математика получила в XVII в. Потребности механи­ки, оптики, техники, географии, связанные с необходимостью изучать движение, привели к понятиям производной и интеграла, к созданию математического анализа.

Третий мощный толчок математика испытала в середине XX столе­тия, когда были созданы первые ЭВМ и возникла необходимость их про­граммного обеспечения. В наши дни идет процесс бурного развития вы­числительной математики. Но до аксиоматического построения этой об­ласти еще далеко — это проблема будущего развития науки.

Для XX в. характерен расцвет не только теоретической, но и при­кладной математики. Общеизвестна ее роль в астрономии, физике, тех­нике, военном деле. В наши дни математика применяется также в эконо­мике, экологии, социологии, психологии, лингвистике и других науках. Экономика не только использует существующий математический ап­парат. Она способствовала созданию линейного программирования — новой области математики. Его основные идеи сформулировал Л. В. Канто­рович, получивший совместно с американским ученым Т. Купмансом в 1975 г. Нобелевскую премию по экономике за приложение методов ли­нейного программирования.

Поскольку Нобелевская премия в области математики не присуждается, в том же 1975 г. премией фон Нейманна были отмечены исследования Дж. Данцига, создателя симплекс-метода.

Одна из важных особенностей математики XX в. — ее внимание к проблемам управления. Решая любую задачу, необходимо стремиться к эффективному использованию природных богатств, людских ресурсов, технических средств. Так возникает проблема наилучшего, или, как го­ворят, оптимального управления. В XX в. особую актуальность прио­брели также задачи управления летательными аппаратами.

Потребности техники, в частности космической, выдвинули целую серию новых задач, которые не удавалось решить средствами классиче­ского математического анализа. Нужно было развить его, обобщить и со­здать новый раздел: выпуклый анализ. Соответствующая математиче­ская теория была создана Л. С. Понтрягиным во второй половине XX в.

В любом обществе люди хранят, обрабатывают и передают информа­цию. Однако только в середине XX в. создана информатика — совокуп­ность наук об информационных процессах. В математике разработаны принципы измерения информации. Разведчикам и дипломатам всегда была нужна шифровка информации. В XX в. теория защиты информа­ции — криптография — стала точной математической наукой.

Новая математическая дисциплина — теория игр — создана в XX в. Она анализирует конфликтные ситуации при столкновении интересов двух и более сторон, преследующих различные цели. Такие ситуации возникают в военной сфере, спортивных соревнованиях, в судебных про­цедурах и в экономике.

Уже в древних государствах велся учет населения, способного пла­тить налоги. С усложнением жизни потребовались научные методы об­работки и анализа самых разнообразных сведений об обществе, в том числе и связанных с учетом налоговых поступлений.

Демографическая статистика изучает численность населения, его возрастной и профессиональный состав. Экономическая статистика раз­рабатывает методы прогнозирования роста и спада производства. Име­ются другие виды статистики — медицинская, финансовая, страховая. В XX в. на основе теории вероятностей создана новая область матема­тики — математическая статистика. Ее методы широко используются в народном хозяйстве и военном деле, в социологии, психологии и лингвистике.

Именно поэтому в наши дни математику преподают будущим специалистам гуманитарного профиля. Она не только развивает способность к абстрактному мышлению. Математика — это инструмент, позволяющий глубоко проникать в сущность любой области человеческой деятельности.

Приведем в заключение слова замечательного ученого и педагога И. Г. Петровского, который в течение многих лет был ректором Москов­ского государственного университета им. М. В. Ломоносова: «Великий математик Карл Фридрих Гаусс в свое время назвал математику «цари­цей всех наук». Математика скорее добрая фея, только получить у нее можно не волшебную палочку, а надежный и точный инструмент — ма­тематические методы».

Дата добавления: 2014-01-03