Предел функции. Предел последовательности

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х = а, где а – конечная или бесконечно удаленная точка на числовой прямой Ох.

Число А называется конечным пределом функции в точке х = а (или при ), если для любого числа , сколь малым бы оно ни было, можно указать такую окрестность U (a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел функции обозначается так: , или при .

Определение конечного предела при можно записать символически следующим образом:

. (*)

Геометрически существование конечного предела в случае, когда , означает, что значения функции сколь угодно мало отличаются от числа А, если значения аргумента становятся достаточно близкими к точке х = а (рис. 1). При этом в самой точке а функция может быть не определена или определена, но может иметь значение, отличное от А.

Поведение функции только слева или только справа от точки , т.е. в ее левой или правой окрестности, характеризуется ее односторонними пределами (рис. 2): левосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается левее точки а (); правосторонний предел функции обозначается , где условие означет, что х остается правее точки а ().

Существование предела означает, что существуют оба односторонних предела и они совпадают между собой:

.

Если существует конечный предел функции при : , то в его определении (*) U (a) – это окрестность бесконечно удаленной точки числовой прямой (рис. 3). При этом можно рассматривать односторонние пределы: или (рис. 4).

Числовую последовательность обычно рассматривают как функцию натурального аргумента n: .

Если существует предел последовательности , то его определение можно записать символически:

,

т.е. члены последовательности сколь угодно мало отличаются от числа А при достаточно больших номерах n (для ).

Дата добавления: 2014-01-03