Примеры решения задач

Задача 7.3.1. Испытания 250 электроламп на их срок службы дали результаты, представленные в таблице 7.1.

Таблица 7.1. – Результаты испытаний электроламп

Срок службы, ч	300-400	400-500	500-600	600-700	700-800	800-900	900-1000	1000-1100	1100-1200
Количество электроламп mi

Пользуясь критериями Пирсона c² и Колмогорова - Смирнова, установите, согласуются ли данные испытания с законом нормального распределения.

Решение.

Интервальная форма, в которой представлены экспериментальные данные, уже подготовлена для построения гистограммы.

Находим относительные частоты для каждого интервала (3.1):

Р_э1 = 2/50 = 0,008 Р_э6 = 50/250 = 0,2

Р_э2 = 16/250 = 0,064 Р_э7 = 32/250 = 0,128

Р_э3 = 24/250 = 0,096 Р_э8 = 14/250 = 0,056

Р_э4 = 42/250 = 0,168 Р_э9 = 6/250 = 0,024

Р_э5 = 64/250 = 0,256

Строим гистограмму (задача 3.2.1.), показанную на рисунке 7.1.

Рассчитываем теоретические вероятности попадания значений в каждый интервал в соответствии с законом нормального распределения:

P_Ti = Ф ((x_Bi - )/S) – Ф ((x_{н i} -)/S), (7.22)

где x_Bi, x_Hi – соответственно верхняя и нижняя границы i-го интервала;

Ф (_***) – функция Лапласа по приложению Б.

		pэi, pTi

300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 срок службы,r

Рисунок 7.1. – Гистограмма и теоретическая кривая распределения вероятностей

Среднее арифметическое значение определяем по формуле (3.11), где x_i– середина i-го интервала:

=×(350×2+450×16+550×24+650×42+750×64+850×50+950×32+1050×14+ +1150×6)= 763,6 (ч)

СКО результатов испытаний (3.15):

S =

Теоретические вероятности:

Р_Т1=Ф ()-Ф()=Ф(-2,15)-Ф(-2,75)=-Ф(2,15)+Ф(2,75)=

=-0,4842+0,4970=0,0128

Р_Т2= Ф ()-Ф()=Ф(-1,56)-Ф(-2,15)=-0,4406+0,4842=0,0436

Аналогично, проводя вычисления для следующих интервалов, получаем:

Р_Т3=-0,3340+0,4406=0,1066

Р_Т4=-0,1480+0,3340=0,186

Р_Т5=0,0864+0,1480=0,2344

Р_Т6=0,2910-0,0864=0,2046

Р_Т7=0,4192-0,2910=0,1282

Р_Т8=0,4767-0,4192=0,0575

Р_Т9=0,4952-0,4767=0,0185

Полученные значения Р_Тi наносим на график (рисунок 7.1). Рассчитываем для каждого интервала расхождение эмпирического и теоретического распределений вероятностей в виде c²_i:

c_i²= (7.23)

c₁²==0,45

c₂¹==2,386

c₃²==0,2635

c₄²==0,4355

c₅²==0,4976

c₆²==0,0259

c₇²==0,000078

c₈²==0,00978

c₉²==0,4088

Рассчитываем эмпирическое значение c²:

c²=² (7.24)

c²= 0,45+2,386+0,2635+0,4355+0,4976+0,0259+0,000078+0,00978+0,4088=

=4,4771584,48

Полученное значение сравниваем с табличным c_т². По приложению Е для уровня значимости q=0,05 и числа степеней свободы f=9-3=6: c_т²=12,6.

c²<c_т²: 4,48<12,6

Следовательно, гипотеза о соответствии эмпирического распределения нормальному теоретическому закону принимается.

Проверим эту гипотезу, применяя критерий Колмогорова-Смирнова. Рассчитываем накопленные относительные частоты для каждого интервала (3.28):

F_Э1=0,008

F_Э2=0,008+0,064=0,072

F_Э3=0,008+0,064+0,096=0,168

F_Э4=0,008+0,064+0,096+0,168=0,336

F_Э5=0,008+0,064+0,096+0,168+0,256=0,592

F_Э6=0,008+0,064+0,096+0,168+0,256+0, 2=0,792

F_Э7=0,008+0,064+0,096+0,168+0,256+0, 2+0,128=0,92

F_Э8=0,008+0,064+0,096+0,168+0,256+0,2+0,128+0,056=0,976

F_Э9=0,008+0,064+0,096+0,168+0,256+0,2+0,128+0,056+0,024=1

Рассчитываем накопленные теоретические вероятности для каждого интервала:

F_T1=0,0128

F_T2=0,0128+0,0436=0,0564

F_T3=0,0128+0,0436+0,1066=0,163

F_T4=0,0128+0,0436+0,1066+0,186=0,349

F_T5=0,0128+0,0436+0,1066+0,186+0,2344=0,5834

F_T6=0,0128+0,0436+0,1066+0,186+0,2344+0,2046=0,788

F_T7=0,0128+0,0436+0,1066+0,186+0,2344+0,2046+0,1282=0,9162

F_T8=0,0128+0,0436+0,1066+0,186+0,2344+0,2046+0,1282+0,0575=0,9737

F_T9=0,0128+0,0436+0,1066+0,186+0,2344+0,2046+0,1282+0,0575+0,0185= =0,9922

Покажем графически на рисунке 7.2 эмпирическую и теоретическую функции распределения вероятностей.

0.5  

Fэi, Fтi  

Рисунок 7.2 – эмпирическая и теоретическая функции распределения вероятностей

Определяем расхождение эмпирической и теоретической функций распределения в каждом интервале:

| F_Э1 – F_T1|=|0,008-0,0128|=0,0048

| F_Э2 – F_T2|=|0,072-0,0564|=0,0156

| F_Э3 – F_T3|=|0,168-0,163|=0,005

| F_Э4 – F_T4|=|0,336-0,349|=0,013

| F_Э5 – F_T5|=|0,592-0,5834|=0,0086

| F_Э6 – F_T6|=|0,792-0,788|=0,004

| F_Э7 – F_T7|=|0,92-0,9162|=0,0038

| F_Э8 – F_T8|=|0,976-0,9737|=0,0023

| F_Э9 – F_T9|=|1-0,9922|=0,0078

Определяем наибольшую разность: в четвертом интервале D = 0,013

Рассчитываем l = 0,013×= 0,2056 0,2

По таблице приложения И определяем вероятность, с которой можно принять гипотезу:

P(l)=P(0,2)=1,000

8 Виды и методы измерений

8.1 Основные положения

8.1.1 Виды измерений (прямые, косвенные, совокупные, совместные)

Целью измерения является нахождение соотношения измеряемой величины с ее единицей и получение значения этой величины. По способу получения значения измеряемой величины измерения делят на прямые, косвенные, совокупные и совместные.

Прямое измерение – это измерение, при котором искомое значение физической величины получают непосредственно из опытных данных.

Косвенные измерения представляют собой определение искомого значения физической величины на основании результатов прямых измерений других физических величин, функционально связанных с искомой величиной.

Совокупные измерения – это проводимые одновременно измерения нескольких одноименных величин, при которых искомые значения величин определяют путем решения системы уравнений, получаемых при измерениях этих величин в различных сочетаниях.

Совместные измерения – это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноименных величин для определения зависимости между ними.

Перед статистической обработкой результатов измерений из опытных данных должны быть:

а) исключены известные систематические погрешности;

б) проверены и исключены грубые погрешности и промахи.

Общий порядок статистической обработки результатов измерений представляет собой:

а) проверку гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону по одному из критериев;

б) определение числовых характеристик результатов измерений – среднего арифметического значения, дисперсии или СКО;

в) определение СКО среднего значения результата измерения и доверительных границ случайной составляющей погрешности измерений;

*г) определение границ не исключенных систематических погрешностей (НСП) и их влияния на результат измерений;

д) расчет доверительного интервала результата измерений.

Порядок выполнения расчетов по отдельным пунктам для прямых измерений был рассмотрен в предыдущих главах (3,4,7). Для результатов других видов измерений есть особенности статистической обработки.

Алгоритмы обработки результатов косвенных измерений устанавливаются в зависимости от взаимного влияния (корреляции) погрешностей измерений аргументов и вида функциональной зависимости между измеряемой величиной и ее аргументами.

Корреляция между погрешностями измерения аргументов существует, если выполняется условие:

(8.1)

где n - число измерений каждого аргумента;

t_P – коэффициент Стьюдента для доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f = n – 2;

r – коэффициент корреляции:

, (8.2)

где a_hi, a_ki – результаты i-го измерения, соответственно h-го и j-го аргумента;

*Пункт (г) выполняется в особо точных случаях при возможности определения границ НСП.

– средние значения измеренных аргументов.

При установлении корреляции и нормальном распределении погрешностей измерений аргументов порядок статистической обработки определяется видом функциональной зависимости измеряемой величины от ее аргументов.

При линейной функциональной зависимости вида

, (8.3)

где b_j – коэффициент при a_j-м аргументе,

СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:

, (8.4)

где – СКО среднего для j-го аргумента:

(8.5)

При нелинейной функциональной зависимости: СКО среднего измеряемой величины определяется по формуле:

, (8.6)

где – первая частная производная функциональной зависимости измеряемой величины от аргументов по a_j-му аргументу.

При линеаризации нелинейной зависимости появляется методическая НСП от округления ряда разложения Тейлора – R:

, (8.7)

где – полный дифференциал второго порядка функциональной зависимости .

Методической погрешностью R можно пренебречь, если

. (8.8)

В противном случае R должна учитываться в окончательном результате измерений.

При отсутствии корреляции, независимо от вида распределения экспериментальных данных и функциональной зависимости применяется метод приведения:

- вычисляются текущие значения измеряемой величины:

(8.9)

где – i-е значение j-го аргумента.

- рассчитывается оценка среднего измеряемой величины:

; (8.10)

- рассчитывается СКО оценки среднего измеряемой величины:

. (8.11)

Окончательный результат косвенных измерений представляют в форме доверительного интервала:

, (8.12)

где – коэффициент Стьюдента для заданной доверительной вероятности Р.

Результаты совокупных и совместных измерений получают из системы уравнений вида:

(8.13)

где - величины, получаемые при измерениях;

- искомые величины.

Для повышения точности результатов измерений в системе должно быть больше уравнений, чем число неизвестных.

Первоначальная система условных уравнений приводится к системе нормальных уравнений вида:

(8.14)

*где , и т.п.

Решением системы (8.14) являются оценки искомых величин . Подставляя эти значения в условные уравнения, определяют остаточные погрешности _i, так называемые «невязки». Невязки определяют погрешности измерения искомых величин, на основании которых рассчитываются доверительные интервалы этих величин.

*При проведении совместных измерений условные уравнения равноточные, при совокупных измерениях из-за различных сочетаний измеряемых величин уравнения неравноточны, и вводится дополнительная характеристика – вес:

. (8.15)

На коэффициент умножаются все величины a, b, c, l.

Дата добавления: 2014-01-03