Гистограмма

Этот распространенный инструмент контроля качества используется для предварительной оценки дифференциального закона распределения изучаемой случайной величины, однородности экспериментальных данных, сравнения разброса данных с допустимым, природы и точности изучаемого процесса.

Гистограмма — это столбчатый график 1 (рис. 4.18), позволяющий наглядно представить характер распределения случайных величин в выборке.

Для этой же цели используют и полигон 2 (см. рис. 4.18) — ломаную линию, соединяющую середины столбцов гистограммы.

Гистограмма как метод представления статистических данных была предложена французским математиком А. Гэри в 1833 году. Он предложил использовать столбцовый график для анализа данных о преступности. Работа А. Гэри принесла ему медаль Французской академии, а его гистограммы стали стандартным инструментом для анализа и представления данных.

Построение гистограммы производится следующим образом.

Составляется план исследования, выполняются измерения, и результаты заносят в таблицу.

Результаты могут быть представлены в виде фактических измеренных значений либо в виде отклонений от номинального значения.

В полученной выборке находят максимальное Х_mах и минимальное Х_min

значения и их разницу R = Хmах– Хmin разбивают на z равных интервалов. Обычно, где N — объем выборки.

Представительной считается выборка при N = 35 – 200.

Часто N = 100. Как правило, z = 7 – 11.

Подсчитывают частоты f_i (абсолютное число наблюдений) и частости

(относительное число наблюдений) для каждого интервала.

Составляется таблица распределения и строится его графическое изображение с помощью гистограммы или полигона в координатах fi— xi или ωi— xi, где xi — середина или граница i-го интервала. В каждый интервал включаются наблюдения, лежащие в пределах от нижней границы интервала до верхней. Частоты значений, попавших на границы между интервалами, поровну распределяются между соседними интервалами.

Для этого значения, попавшие на нижнюю границу, относят к предшествующему интервалу, значения, попавшие на верхнюю границу, — к последующему интервалу. Масштаб графиков по оси абсцисс выбирается произвольным, а по оси ординат рекомендуется такой, чтобы высота максимальной ординаты относилась к ширине основания кривой

Имея таблицу распределения, выборочные X и S² для общей выборки можно рассчитать по формулам:

_

Здесь Хi — среднее значение i-го интервала.

Расчеты значительно упрощаются, если использовать начало отсчета x_0.

С помощью гистограммы (полигона) можно установить теоретический закон распределения, которому в наилучшей степени соответствует эмпирическое распределение данного фактора, найти параметры этого теоретического распределения.

Зная Х, S, закон распределения характеристики технологического процесса, можно оценить точность технологического процесса по данному параметру

Методика анализа процесса по показателю Cp

Основным достоинством гистограммы является то, что анализ ее формы и расположения относительно границ поля допуска дает много информации об изучаемом процессе без выполнения расчетов.

Для получения такой информации из исходных данных необходимо выполнить достаточно сложные расчеты. Гистограмма позволяет оперативно выполнить предварительный анализ процесса (выборки) исполнителю первой линии (оператору, контролеру и др.) без математической обработки результатов измерений.

Например, как видно на приведенном выше рисунке гистограмма смещена относительно номинального размера к нижней границе допуска, в области

Колоколообразное распределение (см. рис. 4.19, а) — симметричная форма с максимумом примерно в середине интервала изменения изучаемого параметра.

Характерна для распределения параметра по нормальному закону, при равномер­ном влиянии на него различных факторов. Отклонения от колоколообразной формы могут указывать на наличие доминирующих факторов или нарушений ме­тодики сбора данных (например, включения в выборку данных, полученных в дру­гих условиях).

Распределение с двумя пиками (двухвершинное) (см. рис. 4.19, б) характер­но для выборки, объединяющей результаты двух процессов или условий работы. Например, если анализируются результаты измерений размеров деталей после обработки, такая гистограмма будет иметь место, если в одну выборку объедине­ны измерения деталей при разных настройках инструмента или при использова­нии разных инструментов либо станков. Использование различных схем страти­фикации для выделения различных процессов или условий — один из методов дальнейшего анализа таких данных.

Распределение типа плато (см. рис. 4.19, в) имеет место для тех же условий, что и предыдущая гистограмма. Особенностью данной выборки является то, что в ней объединено несколько распределений, в которых средние значения незна­чительно отличаются между собой. Целесообразно построить диаграмму потоков, выполнить анализ последовательно выполняемых операций, применить стандарт­ные процедуры реализации операций. Это уменьшит вариабельность условий процессов и их результатов. Полезно также применение метода стратификации (расслоения) данных.

Распределение гребенчатого типа (см. рис. 4.19, г) — регулярно чередующие­ся высокие и низкие значения. Этот тип обычно указывает на ошибки измерений, на ошибки в способе группировки данных при построении гистограммы или на систематическую погрешность в способе округления данных. Менее вероятна аль­тернатива того, что это один из вариантов распределения типа плато.

Проанализируйте процедуры сбора данных и построения гистограммы, преж­де чем рассматривать возможные характеристики процесса, которые могли бы вызывать такую структуру.

Скошенное распределение (см. рис. 4.19, д) имеет асимметричную форму с пи­ком, расположенным не в центре данных, и с «хвостами» распределения, которые резко спадают с одной стороны, и мягко — с другой.

Иллюстрация на рисунке назы­вается положительно скошенным распределением, потому что длинный «хвост» простирается вправо к уменьшающимся значениям. Отрицательно скошенное рас­пределение имело бы длинный «хвост», простирающийся влево к уменьшающимся значениям.

Такая форма гистограммы указывает на отличие распределения изучаемого па­раметра от нормального.

Оно может быть вызвано: преобладающим влиянием какого-либо фактора на разброс значений пара­метра.

Например, при механической обработке это может быть влияние точ­ности заготовок или оснастки на точность обработанных деталей;

невозможностью получения значений больше или меньше определенной вели­чины. Это имеет место для параметров с односторонним допуском (например, для показателей точности взаимного расположения поверхностей — биения, неперпендикулярности и др.), для параметров, у которых существуют практи­ческие ограничения их значений (например, значения времени или числа изме­рений не могут быть меньше нуля).

Такие распределения возможны, так как обусловлены природой получения вы­борок. Следует обратить внимание на возможность уменьшения длины «хвоста», так как он увеличивает вариабельность процесса.

Усеченное распределение (см. рис. 4.19, е) имеет асимметричную форму, при которой пик находится на краю или вблизи от края данных, а распределение с од­ной стороны обрывается очень резко и имеет плавный «хвост» с другой стороны. Иллюстрация на рисунке показывает усечение с левой стороны с положительно скошенным «хвостом». Конечно, можно также столкнуться с усечением справа с отрицательно скошенным «хвостом». Усеченные распределения — это часто глад­кие, колоколообразные распределения, у которых посредством некоторой внеш­ней силы (отбраковка, 100%-ный контроль или перепроверка) часть распределения изъята или усечена. Обратите внимание, что усилия по усечению добавляют сто­имость и, следовательно, это хорошие кандидаты на устранение.

Распределение с изолированным пиком (см. рис. 4.19, ж) имеет небольшую, отдельную группу данных в дополнение к основному распределению. Как и рас­пределение с двумя пиками, эта структура представляет собой некоторую комби­нацию и предполагает, что работают два различных процесса. Однако маленький размер второго пика указывает на ненормальность, на что-то, что не происходит часто или регулярно.

Посмотрите внимательно на условия, сопутствующие данным в маленьком пике: нельзя ли обособить конкретное время, оборудование, источник входных материа­лов, процедуру, оператора и т. д. Такие маленькие изолированные пики в сочета­нии с усеченным распределением могут быть следствием отсутствия достаточной эффективности отбраковки дефектных изделий. Возможно, что маленький пик представляет ошибки в измерениях или переписывании данных. Перепроверьте измерения и вычисления.

Распределение с пиком на краю (см. рис. 4.19, з) имеет большой пик, присоеди­ненный к гладкому в остальном распределению. Такая форма существует тогда, когда протяженный «хвост» гладкого распределения был обрезан и собран в одну-единственную категорию на краю диапазона данных. Кроме того, это указывает на неаккуратную запись данных (например, значения за пределами «приемлемого» диапазона записываются как всего лишь лежащие вне диапазона).

4.3.4. Диаграмма разброса

Диаграмма разброса позволяет без математической обработки экспериментальных данных о значениях двух переменных на основе графического представления этих данных оценить характер и тесноту связи между ними. Это дает возможность линейному персоналу контролировать ход процесса, а технологам и менеджерам — управлять им.

Этими двумя переменными могут быть:

1. характеристика качества процесса и фактор, влияющий на ход процесса;

2. две различные характеристики качества;

3. два фактора, влияющие на одну характеристику качества.

Рассмотрим примеры использования диаграмм разброса в указанных слу­чаях [15].

К примерам применения диаграммы разброса для анализа зависимости между причинным фактором и характеристикой (следствием) относятся диаграммы для анализа зависимости суммы, на которую заключены контракты, от числа поездок бизнесмена с целью заключения контрактов (планирование эффективных поез­док); процента брака от процента невыхода на работу операторов (контроль пер­сонала); числа поданных предложений от числа циклов (от времени) обучения персонала (планирование обучения); расхода сырья на единицу готовой продук­ции от степени чистоты сырья (стандарты на сырье); выхода реакции от темпера­туры реакции; толщины плакировки от плотности тока; степени деформации от скорости формовки (контроль процессов); размера принятого заказа от числа дней, за которое производится обработка рекламаций (инструкции по ведению торго­вых операций, инструкции по обработке рекламаций) и т. д.

При наличии корреляционной зависимости причинный фактор оказывает очень большое влияние на характеристику, поэтому, удерживая этот фактор под контролем, можно достичь стабильности характеристики. Можно также определить уровень контроля, необходимый для требуемого показателя каче­ства.

Примерами применения диаграммы разброса для анализа зависимости между двумя причинными факторами могут служить диаграммы для анализа зависимо­сти между содержанием рекламаций и руководством по эксплуатации изделия (движение за отсутствие рекламаций); между циклами закалки отожженной ста­ли и газовым составом атмосферы (контроль процесса); между числом курсов обучения оператора и степенью его мастерства (планирование обучения и подго­товки кадров) и т. д.

При наличии корреляционной зависимости между отдельными факторами зна­чительно облегчается контроль процесса с технологической, временной и эконо­мической точек зрения.

Применение диаграммы разброса для анализа зависимости между двумя характе­ристиками (результатами) можно видеть на таких примерах, как анализ зависимос­ти между объемом производства и себестоимостью изделия; между прочностью на растяжение стальной пластины и ее прочностью на изгиб; между размерами комп­лектующих деталей и размерами изделий, смонтированных из этих деталей; между прямыми и косвенными затратами, составляющими себестоимость изделия; между толщиной стального листа и устойчивостью к изгибам и т. д.

При наличии корреляционной зависимости можно осуществлять контроль только одной (любой) из двух характеристик.

Построение диаграммы разброса (поля корреляции) производят следующим образом.

Планируют и выполняют эксперимент, при котором реализуется взаимо­связь y = f(x), либо производят сбор данных о работе организации, об из­менениях в обществе и т. п., в которых выявляется взаимосвязь y = f(x). Первый путь получения данных характерен для технических (конструк­торских или технологических) задач, второй путь — для организационных и социальных задач. Желательно получить не менее 25-30 пар данных, ко­торые заносят в таблицу. Таблица имеет три графы: номер опыта (или де­тали), значения у и х.

Оценивают однородность экспериментальных данных с помощью критери­ев Груббса или Ирвина [18]. Резко выделяющиеся результаты, не принадле­жащие данной выборке, исключают попарно.

Находят максимальные и минимальные значения x и у. Выбирают масшта­бы по оси ординат (у) и оси абсцисс (x) так, чтобы изменение факторов по этим осям имело место на участках примерно одинаковой длины. Тогда диаграмму будет легче читать. На каждой оси нужно иметь 3-10 градаций. Желательно использовать целые числа.

Для каждой пары значений y. — x. на графике получают точку как пересече­ние соответствующих ординаты и абсциссы. Если в разных наблюдениях по­лучены одинаковые значения вокруг точки, рисуют столько концентричных кружков, сколько этих значений минус одно, либо наносят все точки рядом, либо рядом с точкой указывают общее число одинаковых значений.

На диаграмме или рядом с ней указывают время и условия ее построения (общее число наблюдений, Ф. И. О. оператора, собравшего данные, средства измерений, цена деления каждого из них и др.).

Для построения эмпирической линии регрессии диапазон изменения x (или у) разбирают на 3-5 равных частей. Внутри каждой зоны для попавших в нее точек находят X] и у ■ (j — номер зоны). Наносят эти точки на диаграмму (на рис. 4.20 они обозначены треугольниками) и соединяют между собой. По­лученная ломаная более наглядно иллюстрирует вид зависимости y = f (x).

Эмпирическую линию регрессии строят обычно на этапе обработки опытных данных, но даже само расположение точек диаграммы рассеяния в факторном пространстве (y — x) без построения этой линии позволяет предварительно оце­нить вид и тесноту взаимосвязи y = f(x).

Взаимосвязь двух факторов может быть линейной (рис. 4.21-4.24) или нелиней­ной (рис. 4.26, 4.27), прямой (см. рис. 4.21, 4.22) или обратной (см. рис. 4.23, 4.24), тесной (см. рис. 4.21, 4.23, 4.27) или слабой (легкой) (см. рис. 4.22, 4.24, 4.26) или вообще отсутствовать (рис. 4.25).

Для линейной зависимости, как известно, характерно прямо пропорциональ­ное изменение у при изменении x, которое может быть описано уравнением пря­мой линии:

у = а + bx. (4.3)

Линейная зависимость является прямой, если имеет место увеличение значе­ний y при увеличении значений х. Если с ростом x значения y уменьшаются — зависимость между ними обратная.

Если имеет место закономерное изменение положения точек на диаграмме рас­сеяния, когда с изменением x происходит линейное или нелинейное изменение у, значит, существует взаимосвязь между у и x. Если такого изменения положения точек нет (см. рис. 4.25), значит, связь между у и x отсутствует. При наличии свя­зи малый разброс точек относительно их воображаемой средней линии свидетель­ствует о тесной связи у с x, большой разброс точек — о слабой (легкой) связи у с x.

После качественного анализа зависимости у = f(x) по форме и расположению диаграммы рассеяния выполняют количественный анализ этой зависимости. При этом часто используют такие методы, как метод медиан [15, 19], метод сравнения графиков изменения значений у и x во времени или контрольных карт для этих значений [15], оценка временного лага взаимосвязи переменных [4], методы кор­реляционно-регрессионного анализа [18, 19].

Первые два из перечисленных методов предназначены для оценки наличия и ха­рактера взаимосвязи (корреляции) между у и x. Достоинство этих методов — от­сутствие сложных расчетов. Рекомендуются при обработке результатов непосред­ственно на рабочем месте, где производились измерения. Методы реализуются путем подсчета точек в определенных зонах диаграммы рассеяния или контрольной карты, их суммирования и сравнения полученных значений с табличными. Мето­ды не дают количественной оценки степени тесноты связи у и x.

Третий метод используется для определения периодов времени, когда между двумя характеристиками качества существует наиболее тесная взаимосвязь. Для этого строятся и анализируются диаграммы разброса между значениями у1 — xt со сдвигом во времени. Сначала строятся диаграммы между значениями у1 — x, за­тем у1 +1 — x, затем у1 + 2 — xt и т. д. Здесь i — период времени, в который измеря­лись значения у и x. Это могут быть час, день, месяц и т. п.

Наиболее объективную, количественную оценку степени тесноты и характера взаимосвязи между значениями изучаемых параметров у и x можно получить при использовании методов корреляционно-регрессионного анализа (КРА). Досто­инством этих методов является также то, что достоверность их результатов под­дается оценке.

Степень тесноты линейной взаимосвязи между двумя факторами оценивается с помощью коэффициента парной корреляци:

Дата добавления: 2014-01-03