Сложение дисперсий изучаемого признака

В статистическом исследовании часто бывает необходимо не только изучить вариации признака по всей совокупности, но и проследить количественные изменения признака по однородным группам совокупности, а также и между группами. Следовательно, помимо общей средней для всей совокупности необходимо просчитывать и частные средние величины по отдельным группам.

Различают следующие виды дисперсий: общая; групповая; внутригрупповая; межгрупповая.

Общая дисперсия () характеризует вариацию признака всей совокупности под влиянием всех тех факторов, которые обусловили данную вариацию. Эта величина определяется по формуле (11.11)

(11.11)

где - общая средняя арифметическая всей исследуемой совокупности.

Внутригрупповая дисперсия () (остаточная дисперсия) свидетельствует о случайной вариации, которая может возникнуть под влиянием каких-либо неучтенных факторов и которая не зависит от признака-фактора, положенного в основу группировки. Данная дисперсия рассчитывается следующим образом: сначала рассчитываются групповые дисперсии () (11.12), затем средняя внутригрупповая дисперсия (11.13):

(11.12) (11.13)

где n_i - число единиц в совокупности.

Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) характеризует систематическую вариацию, т.е. различия в величине исследуемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, который положен в основу группировки. Эта дисперсия рассчитывается по формуле (11.14):

(11.14)

где - средняя величина по отдельной группе.

Все три вида дисперсии связаны между собой: общая дисперсия равна сумме средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии (11.15):

(11.15)

Данное соотношение отражает закон, который называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому закону (правилу), общая дисперсия, которая возникает под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, которые появляются как под влиянием признака-фактора, положенного в основу группировки, так и под влиянием других факторов.

Коэффициент детерминации рассчитывается как отношение межгрупповой дисперсии к общей дисперсии; он показывает, какую долю общей вариации признака составляет вариация, обусловленная фактором, положенным в основание группировки. При отсутствии связи он просто равен нулю, при чисто функциональной связи — 1. В общем случае коэффициент детерминации принимает значения между 0 и 1.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается как корень квадратный из коэффициента детерминации; оно характеризует тесноту связи.

Очевидно, что группировочный признак целиком определяет вариацию изучаемого результативного признака. Среди варьирующих признаков, изучаемых статистикой, встречаются такие, вариация которых проявляется в том, что у одних единиц совокупности они встречаются, а у других – нет. Признаки, которыми обладают одни единицы и не обладают другие, называются альтернативными. Количественная вариация альтернативного признака проявляется в значении 0 у единиц, которые им не обладают (q), или в значении 1 у единиц, обладающих этим признаком (p - доля). При этом всегда p + q = 1, а q = 1 - p. Среднее значение альтернативного признака равно доле, которая является обобщающей характеристикой совокупности по этому варьирующему признаку.

Дисперсия альтернативного признака (ДАП) равна произведению доли на дополняющее эту долю единицы число (p * q). Корень квадратный из ДАП соответствует среднему квадратичному отклонению (СКО). Поскольку p + q не может быть больше единицы, то СКО не может превышать 0, 25.

Дисперсия характеризуется несколькими важными и полезными для ее вычисления свойствами:

1) если от всех вариант отнять или прибавить какое-то постоянное число А, то дисперсия не изменится, т. е. дисперсию можно вычислять по отклонениям вариант от какого-то постоянного числа;

2) если все значения вариант разделить или умножить на какое-то постоянное число А, то дисперсия уменьшится или увеличится в А² , а среднее квадратическое отклонение – в А раз;

3) если исчислить дисперсию от любой величины А, отличающейся от средней арифметической, то она всегда будет больше дисперсии, исчисленной от средней арифметической, причём на величину квадрата разности между средней и величиной А; другими словами, дисперсия от средней имеет свойство минимальности;

4) дисперсия равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом среднего значения признака (этот метод расчёта широко используют на практике).

Дата добавления: 2014-01-03