Многомерная производственная и затратная функции

Самым простым расширением одномерной производственной функции является обобщение двух или более ресурсов. Это позволяет также обсуждать проблемы выборов между комбинацией ресурсов.

Если два ресурса необходимы для того, чтобы произвести некоторое количество информационного продукта I, тогда производственная функция может быть обозначена как

I=I(K,L)

где K и L обозначают количества типов соответствующих ресурсов. В классической экономике, типичное смешение должно использовать капитал как один ресурс K, и труд как другой ресурс L. Конечно, многие вариации этого будут развиты в экономике информационной обработки.

Первая интересная проблема – увидеть, когда различные комбинации K и L могут произвести фиксированный уровень продукции I, называемый I^o. Линии равного производства называют изоквантами. Для любого количества ресурсов одного типа, изокванта отображает количество ресурсов другого типа, который необходим, чтобы произвести то же количество информационных продуктов I. Кроме того, изокванта также указывает, каким количеством одного ресурса должен быть заменен другой ресурс при перемещении вдоль изокванты, чтобы поддерживать тот же уровень производства.

Рис. 4. Изокванты в многомерной производственной функции

С тех пор как вдоль изокванты, производство I - константа, общая разница должна быть нулевой. Это ведет к дифференциальному уравнению первого порядка, которое характеризует изокванты

Частные производные опять называются предельной производительностью K и L соответственно и обозначаются как MI(K) и MI(L). Преобразование вышеприведенного уравнения показывает, что кривые изокванты L=L(K) должно быть решениями следующего уравнения

Аспект, связанный с многомерной производственной функцией, характеризуется Предположим, что для некоторых изоквант I = I^o, соединенные ресурсы K^о и L^о умножаются на пропорциональный показатель m. Если в результате

I(mK^o,mL^o)=mI^o

то существует постоянная отдача от масштаба. Если I(mK^о,mL^о) < mI^о, то существует убывающая отдача от масштаба и наконец, если I(mK^о,mL^о) > mI^о, то существует возрастающая отдача от масштаба. Не путайте отдачу от масштаба с предельной производительностью. Предельная производительность объясняет, что происходит, если один из ресурсов возрастает на бесконечно малую величину. Для отдачи от масштаба ВСЕ ресурсы должны быть умножены на один и тот же фактор.

Аналогично одномерной производственной функции, правила для управленческих решений могут разрабатываться, чтобы максимизировать прибыль. Здесь это будет разработано только для двумерной производственной функции. Прибыль – это по-прежнему дисконтированный денежный поток издержек и доходов, который рассчитывается следующим образом

Предложение

Польза максимальна, когда предельная производительность выглядит следующим образом

и оптимальное соотношение характеризуется следующим

Доказательство следует просто из приравнивания частных дифференциалов по K и L к нулю, в то время как общий дифференциал по прибыли должен быть нулем для всех возможных dK и dL. Оптимальное сочетание следует из устранения NPV(q(t)). Коэффициент предельной производительности называется предельной нормой замещения. Обратите внимание, что в случае независимости от времени издержек на ресурсы, правила решения приводят к

что означает, что, оптимально, ресурсы должны замещаться согласно их относительной стоимости.

Случай 1 Производственная функция Кобба-Дугласа

Рассмотрим следующую производственную функцию

Обсудите свойства и правила решения для этой производственной функции.

Ответ

В этом случае

таким образом, что оптимально

В случае когда, а = b=1, тогда это равняется

что подтверждает, что ресурсы замещаются согласно их относительной стоимости.

Случай 2 Закон Амдаля об организации вычислений на суперкомпьютерах (и многие другие приложения!)

Другим хорошим применением является следующий закон, первоначально сформулированный Амдалем, чтобы охарактеризовать общее ускорение некоторой работы, или задачи, когда некоторая часть k этой работы ускорена фактором m. Ускорение тогда задается просто

Ресурсы для производства общего ускорения - k, охват ускорения, и m, которое является фактическим ускорением в части, которая ускоряется. Конечно, это имеет смысл, только если k – близко к 100% и m > 1. Типичная ситуация - использование цифрового сопроцессора, где k обозначает часть работы, которая содержит цифровые инструкции, и m обозначает увеличение в скорости для выполнения цифровых инструкций посредством сопроцессора. Другое хорошее приложение закона - определение, каким же является общее увеличение производительности при использовании некоторых инструментов разработки, при условии, что инструменты используются только в части k жизненного цикла разработки программы и ускоряет прикладную разработку фактором m для этой части.

Вопрос состоит в том, чтобы определить какой ресурс дает наибольший вклад в общее ускорении, допуская, что их издержки равны.

Ответ

Обратите внимание сначала, что общее ускорение имеет некоторые интересные пределы.

Этот последний результат особенно интересен, поскольку он указывает как, например, фантастическое средство, которое устраняя затраты энергии из половины жизненного цикла, все еще только удваивает общую производительность всего жизненного цикла. Это должно не только дать некоторые реалистичные ожидания в приросте производительности, которые могут быть получены из инструментальных средств в общем, это также является указателем, что k имеет большее влияние на общий прирост производительности или ускорения чем m. График контура функции I подтверждает эту идею.

Дата добавления: 2014-01-03