Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Возрастание и убывание функции. Экстремумы





Исследование функций с помощью производной

Теорема (необходимое условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

Теорема (достаточное условие возрастания функции) Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) положительна, то функция возрастает на этом интервале.

 

Теорема (необходимое условие убывания функции) Если функция f(x) дифференцируема на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неположительна, т.е. f¢(x) £ 0.

Теорема (достаточное условие убывания функции Если функция f(x) дифференцируема и на интервале (a; b) производная данной функции f′(x) отрицательна, то функция убывает на этом интервале.

 

Точка х0 из области определения функции называется точкой максимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) < f(x0).

 

Точка х0 из области определения функции называется точкой минимума этой функции, если существует такая окрестность точки х0, что для всех х ≠ х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0).

Теорема (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х0 и точка х0 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.

 

Теорема (I достаточное условие существования экстремума). Пусть функция f(x) дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с минуса на плюс, то точка x0 является точкой минимума.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с плюса на минус, то точка x0 является точкой максимума.

Если при переходе через точку x0 производная f′(x) не меняет знак, то точка x0 не является экстремумом.

 

Теорема (II достаточное условие существования экстремума) Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки x0 и непрерывна в самой точке x0, причем f¢(x0) = 0, а f¢¢(x0) ≠ 0, тогда функция f(x) в точке х = х0 имеет максимум, если f¢¢(x0)<0 и минимум, если f¢¢(x0)>0.

 

Критическими точками I рода функции называются точки, в которых первая производная функции равна нулю или не существует.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 339; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.