Свойства общего решения

1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х₀, у(х₀) = у₀ существует такое значение С = С₀, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С₀).

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянной.

Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С₀), удовлетворяющего начальным условиям у(х₀) = у₀.

Теорема Коши(теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х₀, у₀) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х₀, принимающее при х = х₀ значение j(х₀) = у₀, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x₀ = 1; y₀ = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у ′ = f (x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у ′ = f ₁(x) ∙ f ₂(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2 уу ′ = 1-3 х ².

Заменим у ′ = и умножим обе части уравнения на dx.

Получим: 2 уdy = (1-3 х ²) dx,

Затем найдем интегралы от обеих частей:

2∫ уdy = ∫(1-3 х ²) dx,

у ² = х - х ³+ С.

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+ x ²) dy – 2 x (y +3) dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2 x (y +3) dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+ x ²)(y +3)).

Получим: ,

,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1.. Введем новую переменную t = у +3, тогда dt = (у +3) ′∙ dу = dу, т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln +C = ln+ C

2. . Введем новую переменную t = 1+ x ² , тогда dt = (1+ x ²) ′∙ dx = 2 xdx, откуда d x = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln +C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: ,

найдем С: С = ln 2,

подставим в общее решение получившееся значение C:

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

-

это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у (2)= 1.

при у (2) = 1 получаем

или - частное решение;

Пример. Решить уравнение

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Если у(1) = 0, то

.

Пример. Решить уравнение .

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

Дата добавления: 2014-01-03