Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Свойства общего решения





1) Т.к. постоянная С – произвольная величина, то, вообще говоря, дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2) При каких- либо начальных условиях х = х0, у(х0) = у0 существует такое значение С = С0, при котором решением дифференциального уравнения является функция у = j(х, С0).

 

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированных значениях постоянной.

 

Задачей Кошиназывается нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = j(х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0.

 

Теорема Коши(теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка)

Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка0, у0) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение j(х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

Теперь интегрируем:

- общее решение исходного дифференциального уравнения.

Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка у′ = f(x, y) называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде:

у′ = f1(x) ∙ f2(y).

При решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными полезно придерживаться следующей схемы:

- разделить переменные (т.е. в одной части уравнения должно быть выражение, содержащее только переменную х, в другой – переменную у);

- найти интегралы от обеих частей уравнения, найти частное решение уравнения;

- найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (если они заданы).

 

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: ydy + xdx = 0

Сначала разделим переменные, т.е. запишем уравнение в виде

ydy = -xdx,

затем найдем интегралы от обеих частей уравнения:

∫ ydy = -∫xdx,

получим

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2уу′ = 1-3х2.



Заменим у′ = и умножим обе части уравнения на dx.

Получим: 2уdy = (1-3х2)dx,

Затем найдем интегралы от обеих частей:

2∫ уdy = ∫(1-3х2)dx,

у2 = х - х3+С.

 

Пример. Найти частное решение дифференциального уравнения (решить задачу Коши для заданных начальных условий): (1+x2)dy – 2x(y+3)dx = 0, если у = -1 при х = 0.

Сначала найдем общее решение. Разделим переменные (для этого выражение (– 2x(y+3)dx) перенесем в правую часть и разделим обе части уравнения на (1+x2)(y+3)).

Получим: ,

,

найдем интегралы от обеих частей:

Вычислим отдельно каждый интеграл.

1.. Введем новую переменную t = у+3, тогда dt = (у+3)′∙ dу = , т.е. dt = dу. Подставим новую переменную в интеграл:

= = ln+C = ln+C

2. . Введем новую переменную t = 1+x2 , тогда dt = (1+x2)′∙ dx = 2xdx, откуда dx = . Подставим новую переменную в интеграл:

= = = ln+C = ln

Найдем общее решение данного уравнения:

 

Для нахождения частного решения подставим в общее решение вместо х и у заданные начальные значения: ,

найдем С: С = ln 2,

подставим в общее решение получившееся значение C:

Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения:

-

это есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения, т.к. искомая функция и не выражена через независимую переменную. В этом и заключается отличие общего (частного) интеграла от общего (частного) решения.

Пример. Найти решение дифференциального уравнения при условии у(2)= 1.

при у(2) = 1 получаем

или - частное решение;

 

Пример. Решить уравнение

 

 

Пример. Решить уравнение при условии у(1) = 0.

Если у(1) = 0, то

.

 

Пример. Решить уравнение .

 

 

Пример. Решить уравнение

Преобразуем заданное уравнение:

Получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Если из этого соотношения выразить искомую функцию у, то получим общее решение.

 

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 713; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.008 сек.