Частными (частичными) суммами функционального ряда
называются функции 
Функциональный ряд
называется сходящимся в точке (х=х0), если в этой точке сходится последовательность его частных сумм. Предел последовательности
называется суммойряда
в точке х0.
Совокупность всех значений х, для которых сходится ряд
называется областью сходимости ряда.
Ряд
называется равномерно сходящимся на отрезке [a,b], если равномерно сходится на этом отрезке последовательность частных сумм этого ряда.
Теорема (Критерий Коши равномерной сходимости ряда)
Для равномерной сходимости ряда
необходимо и достаточно, чтобы для любого числа e>0 существовал такой номер N(e), что при n>N и любом целом p>0 неравенство

выполнялось бы для всех х на отрезке [a,b].
Теорема (Признак равномерной сходимости Вейерштрасса)
Ряд
сходится равномерно и притом абсолютно на отрезке [a,b], если модули его членов на том же отрезке не превосходят соответствующих членов сходящегося числового ряда с положительными членами :

т.е. имеет место неравенство:
.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
Так как
всегда, то очевидно, что
.
При этом известно, что общегармонический ряд
при a=3>1 сходится, то в соответствии с признаком Вейерштрасса исследуемый ряд равномерно сходится и притом в любом интервале.
Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
На отрезке [-1,1] выполняется неравенство
т.е. по признаку Вейерштрасса на этом отрезке исследуемый ряд сходится, а на интервалах (-µ, -1) È (1, µ) расходится.