![]() КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Геометрический смысл дифференциала
Таким образом, мы получили, что дифференциал
Пример 1. Найти дифференциал функции Решение: найдем производную данной функции:
Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx, то
Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значений функции при малом приращении Dх независимой переменной х.
Пример 2. Вычислить приращение стороны куба, если его объем увеличится от 27 до 27,1 м3. Решение: если х – объем куба, то его сторона
Пример 3. Найти приближенно Решение: Полагаем х =
С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции eу , если известна абсолютная погрешность eх аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной. Пусть требуется вычислить значение функции y = f(x) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значение х0 с абсолютной погрешностью eх:
Относительная погрешность функции dу выражается формулой
Например, если в предыдущем примере принять eх = 0,017, то
Рассмотрим теперь методы исследования функций и построение их графиков, которые широко используются как в теории и на практике.
Теорема 1. ( теорема Ферма, Пьер Ферма (1601-1655) – французский математик). Пусть функция f(x) определена на интервале Доказательство. Пусть функция f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е.
если же Dх < 0 (х < х0), то Dу/Dх ³ 0 и, следовательно,
т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию, Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция f(x) имеет наименьшее значение. (ч.т.д.) Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке х0 дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x0, f(x0)) касательная к графику функции f(x) параллельна оси Ох.
Теорема 2. (теорема Роля (Роль Мишель(1652-1719) – французский математик). Пусть на 1) f(x) непрерывна на 2) f(x) дифференцируема на 3) Тогда существует точка сÎ
Геометрически теорема Роля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка
Теорема 3. (теорема Лагранжа, Жозеф-Луи Лагранж(1736-1813) – французский математик). Пусть на 1) f(x) непрерывна на 2) f(x) дифференцируема на Тогда существует точка сÎ
Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа. Величина
Замечание 1. Равенство Замечание 2. Если положить
Теорема 4. (теорема Коши, Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик). Пусть функции f(x) и g(x), непрерывны на
Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 713; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Читайте также:
|