Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Геометрический смысл дифференциала

Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть точка М на кривой соответствует значению аргумента x, точка Р на ой же кривой соответствует значению аргумента x + Dx, МS – касательная к кривой y = f(x) в точке М. Пусть, далее, прямая MN параллельна Ox, прямая PN параллельна Oy, Q – точка пересечения касательной MS с прямой PN. Тогда приращение Dy равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MQN и из формулы ясно, что дифференциал функции dy равен величине отрезка NQ, ибо величина отрезка MN равна Dx, а тангенс угла Ð QMN равен f¢(x). Очевидно, что величины отрезков NP и NQ, вообще говоря, различны.

Таким образом, мы получили, что дифференциал функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной:

.

 

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: найдем производную данной функции:

, тогда

.

 

Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx, то , или , откуда получаем

.

Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значений функции при малом приращении D х независимой переменной х.

 

Пример 2. Вычислить приращение стороны куба, если его объем увеличится от 27 до 27,1 м 3.

Решение: если х – объем куба, то его сторона . По условию задачи х = 27, D х = 0,1. Тогда приращение стороны куба

.

Пример 3. Найти приближенно .

Решение: Полагаем х = , тогда ,

.

 

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции eу, если известна абсолютная погрешность eх аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции y = f(x) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значение х0 с абсолютной погрешностью eх:

. Тогда . Отсюда видно, что .

Относительная погрешность функции dу выражается формулой

.

Например, если в предыдущем примере принять eх = 0,017, то

 

Рассмотрим теперь методы исследования функций и построение их графиков, которые широко используются как в теории и на практике.

 

Теорема 1. (теорема Ферма, Пьер Ферма (1601-1655) – французский математик).

Пусть функция f(x) определена на интервале и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть функция f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е. для любого хÎ. Это означает, что Dу £ 0 для любой точки х0+DхÎ. Поэтому, если Dх > 0 (х > х0), то Dу/Dх £ 0 и, следовательно,

,

если же Dх < 0 (х < х0), то Dу/Dх ³ 0 и, следовательно,

,

т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию, существует и, значит, . Это возможно только в случае, когда . Но тогда и .

Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция f(x) имеет наименьшее значение. (ч.т.д.)

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке х0 дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x0, f(x0)) касательная к графику функции f(x) параллельна оси Ох.

 

Теорема 2. (теорема Роля (Роль Мишель(1652-1719) – французский математик). Пусть на определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на ;

2) f(x) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует точка с Î, в которой .

 

Геометрически теорема Роля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси Ох.

 

Теорема 3. (теорема Лагранжа, Жозеф-Луи Лагранж(1736-1813) – французский математик).

Пусть на определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на ;

2) f(x) дифференцируема на ;

Тогда существует точка с Îтакая, что справедлива формула

.

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а - угловой коэффициент касательной к к графику в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка с такая, что касательная к графику в точке параллельна секущей М1М2. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

 

Замечание 1. Равенство называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Замечание 2. Если положить , то получим где .

 

Теорема 4. (теорема Коши, Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик).

Пусть функции f(x) и g(x), непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть, кроме того, . Тогда существует точка с Îтакая, что справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дифференциал функции. Лекция 4. Понятие дифференциала | Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 779; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.022 сек.