Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Геометрический смысл дифференциала


Рассмотрим график функции y = f(x). Пусть точка М на кривой соответствует значению аргумента x, точка Р на ой же кривой соответствует значению аргумента x + Dx, МS – касательная к кривой y = f(x) в точке М. Пусть, далее, прямая MN параллельна Ox , прямая PN параллельна Oy, Q – точка пересечения касательной MS с прямой PN. Тогда приращение Dy равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного треугольника MQN и из формулы ясно, что дифференциал функции dy равен величине отрезка NQ, ибо величина отрезка MN равна Dx, а тангенс угла Ð QMN равен f¢(x). Очевидно, что величины отрезков NP и NQ, вообще говоря, различны.

Таким образом, мы получили, что дифференциал функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной:

.

 

Пример 1. Найти дифференциал функции .

Решение: найдем производную данной функции:

, тогда

.

 

Так как дифференциал функции отличается от ее приращения на бесконечно малую высшего порядка по сравнению с величиной dx, то , или , откуда получаем

.

Полученная формула часто применяется для приближенного вычисления значений функции при малом приращении Dх независимой переменной х.

 

Пример 2. Вычислить приращение стороны куба, если его объем увеличится от 27 до 27,1 м3.

Решение: если х – объем куба, то его сторона . По условию задачи х = 27, Dх = 0,1. Тогда приращение стороны куба

.

Пример 3. Найти приближенно .

Решение: Полагаем х = , тогда ,

.

 

С помощью дифференциала функции вычисляют абсолютную погрешность функции eу , если известна абсолютная погрешность eх аргумента. В практических задачах значения аргумента находятся с помощью измерений, и его абсолютная погрешность считается известной.

Пусть требуется вычислить значение функции y = f(x) при некотором значении аргумента х, истинная величина которого нам известна, но дано его приближенное значение х0 с абсолютной погрешностью eх:

. Тогда . Отсюда видно, что .

Относительная погрешность функции dу выражается формулой

.

Например, если в предыдущем примере принять eх = 0,017, то

 

Рассмотрим теперь методы исследования функций и построение их графиков, которые широко используются как в теории и на практике.

 

Теорема 1. ( теорема Ферма, Пьер Ферма (1601-1655) – французский математик).

Пусть функция f(x) определена на интервале и в некоторой точке х0 этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке х0 существует производная, то она равна нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть функция f(x) в точке х0 имеет наибольшее значение, т.е. для любого хÎ. Это означает, что Dу £ 0 для любой точки х0+DхÎ. Поэтому, если Dх > 0 (х > х0), то Dу/Dх £ 0 и, следовательно,



,

если же Dх < 0 (х < х0), то Dу/Dх ³ 0 и, следовательно,

,

т.е. правая производная в точке х0 неположительная, а левая – неотрицательная. По условию, существует и, значит, . Это возможно только в случае, когда . Но тогда и .

Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция f(x) имеет наименьшее значение. (ч.т.д.)

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке х0 дифференцируемая функция имеет наибольшее или наименьшее значение, то в точке (x0, f(x0)) касательная к графику функции f(x) параллельна оси Ох.

 

Теорема 2. (теорема Роля (Роль Мишель(1652-1719) – французский математик). Пусть на определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на ;

2) f(x) дифференцируема на ;

3) .

Тогда существует точка сÎ, в которой .

 

Геометрически теорема Роля означает, что у графика непрерывной на отрезке и дифференцируемой внутри этого отрезка функции, принимающей на его концах равные значения, существует точка , в которой касательная параллельна оси Ох.

 

Теорема 3. (теорема Лагранжа, Жозеф-Луи Лагранж(1736-1813) – французский математик).

Пусть на определена функция f(x), причем:

1) f(x) непрерывна на ;

2) f(x) дифференцируема на ;

Тогда существует точка сÎтакая, что справедлива формула

.

Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа.

Величина является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки и графика функции , а - угловой коэффициент касательной к к графику в точке . Из теоремы Лагранжа следует, что существует точка с такая, что касательная к графику в точке параллельна секущей М1М2 . Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.

 

Замечание 1. Равенство называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.

Замечание 2. Если положить , то получим где .

 

Теорема 4. (теорема Коши, Коши Огюстен Луи (1789-1857) – французский математик).

Пусть функции f(x) и g(x), непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть, кроме того, . Тогда существует точка сÎтакая, что справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных приращений.

 

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Дифференциал функции. Лекция 4. Понятие дифференциала | Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 555; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.005 сек.