Правило Лопиталя.
Лекция 5. Применение дифференциального исчисления.
Будем говорить, что отношение двух функций
при
есть неопределенность вида
, если
. Раскрыть эту неопределенность – значит вычислить предел
, если он существует, или установить, что он не существует.
Теорема Лопиталя (Франсуа Лопиталь (1661-1704) – французский математик).
Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки
, за исключением, быть может, самой точки
. Пусть, кроме того,
и
в указанной окрестности точки
. Тогда, существует предел отношения производных
(конечный или бесконечный), то существует и предел
, причем справедлива формула
=
.
Замечание 1. Если производные
удовлетворяют тем же требованиям, что и сами функции, то правило Лопиталя можно применять повторно. При этом получается
=
=
.
Замечание 2.Теорема остается верной и в случае, когда
.
Примеры.
1)
=
=
=
=
;
2)
=
=
=
=
=
;
3)
=
=
=
=1.
Будем говорить, что отношение двух функций
при
есть неопределенность вида
, если
. Для этой неопределенности справедливо утверждение аналогичное теореме Лопиталя, если заменить условие
на условие,
то теорема остается справедливой.
Примеры. 1)
=
=
=
= 0.
2)
=
=
=
=
=
.
Неопределенности вида
и
можно свести к неопределенностям
.