КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Формулы Тейлора и Маклорена
Лекция 6. Применение дифференциального исчисления. Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах. Теорема Тейлора (Брук Тейлор (1685-1731) – английский математик). Пусть функция f(x) имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка n + 1. Пусть х – любое значение аргумента из указанной окрестности, х ¹ . Тогда между точками и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула: . Эта формула называется формулой Тейлора, а выражение , которое обозначается , называется остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка , то найдется такое число из интервала , что , и остаточный член примет вид . Часто формулу Тейлора записывают в ином виде. Положив , , . Тогда: При из этой формулы получается формула Лагранжа .
Если функция ограничена в окрестности точки , то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при : , Таким образом, . Эта формула называется остаточным членом в форме Пеано (Джузеппе Пеано (1858-1932) – итальянский математик). Формулой Маклорена называют формулу Тейлора при :
. Остаточный член имеет вид: в форме Лагранжа ; в форме Пеано .
Формула Маклорена применяется для представления некоторых элементарных функций в виде многочлена. Приведем некоторые примеры. 1) Рассмотрим функцию . Так как то по формуле Маклорена данная функция имеет вид .
2) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим Или
Значит данная функция по формуле Маклорена имеет вид .
3) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим:
Данная функция по формуле Маклорена имеет вид . В этой формуле остаточный член записан в виде , а не в виде , так как следующий за последним член равен нулю (тоже самое относится и к предыдущей формуле). 4) Рассмотрим функцию , где - вещественное число. Так как то по формуле Маклорена данная функция имеет вид , В частном случае, когда - натуральное число, , следовательно, , мы получаем известную из элементарной математики формулу бинома Ньютона . Эти примеры показывают, что функции можно представлять в виде многочленов. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значение многочлена в любой точке и т.д. Формулы Тейлора и Маклорена позволяют приближенно заменять многочленами и более сложные функции. Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций. Пример 1. Найти . Решение. По формуле , при имеем ==.
Пример 2. Найти . Решение. Используя формулы, заменяем три функции == ====.
Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1855; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |