Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Формулы Тейлора и Маклорена





Лекция 6. Применение дифференциального исчисления.

Рассмотрим одну из главных формул математического анализа, имеющую многочисленные применения как в самом анализе, так и в смежных дисциплинах.

Теорема Тейлора (Брук Тейлор (1685-1731) – английский математик).

Пусть функция f(x) имеет в точке и некоторой ее окрестности производные порядка n + 1. Пусть х – любое значение аргумента из указанной окрестности, х ¹ . Тогда между точками и х найдется точка x такая, что справедлива следующая формула:

.

Эта формула называется формулой Тейлора, а выражение , которое обозначается , называется остаточным членом в форме Лагранжа. Его можно переписать в другом виде. Так как точка , то найдется такое число из интервала , что , и остаточный член примет вид

.

Часто формулу Тейлора записывают в ином виде. Положив , , . Тогда:

При из этой формулы получается формула Лагранжа

.

 

Если функция ограничена в окрестности точки , то остаточный член является бесконечно малой более высокого порядка, чем при :

,

Таким образом, . Эта формула называется остаточным членом в форме Пеано (Джузеппе Пеано (1858-1932) – итальянский математик).

Формулой Маклорена называют формулу Тейлора при :

 

.

Остаточный член имеет вид:

в форме Лагранжа ;

в форме Пеано .

 

Формула Маклорена применяется для представления некоторых элементарных функций в виде многочлена. Приведем некоторые примеры.

1) Рассмотрим функцию . Так как

то по формуле Маклорена данная функция имеет вид

.

 

2) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим

Или

 

Значит данная функция по формуле Маклорена имеет вид

.

 

3) Рассмотрим функцию . Вычисляя производные и их значения при х = 0, получим:

Данная функция по формуле Маклорена имеет вид

.

В этой формуле остаточный член записан в виде , а не в виде , так как следующий за последним член равен нулю (тоже самое относится и к предыдущей формуле).

4) Рассмотрим функцию , где - вещественное число. Так как

то по формуле Маклорена данная функция имеет вид

,

В частном случае, когда - натуральное число, , следовательно, , мы получаем известную из элементарной математики формулу бинома Ньютона

.

Эти примеры показывают, что функции можно представлять в виде многочленов. Над многочленами удобно выполнять арифметические действия, нетрудно вычислить значение многочлена в любой точке и т.д. Формулы Тейлора и Маклорена позволяют приближенно заменять многочленами и более сложные функции.

Формула Тейлора является эффективным средством для вычисления пределов функций, с которыми часто приходится иметь дело при исследовании функций.



Пример 1. Найти .

Решение. По формуле , при имеем

==.

 

Пример 2. Найти .

Решение. Используя формулы, заменяем три функции

==

====.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1689; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.