Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Практические задачи на экстремум





Лекция 10. Практические задачи на экстремум. Дифференциал длины дуги и кривизна плоской линии.

Задача 1. Каковы должны быть размеры (радиус основания R и высота H) открытого сверху цилиндрического бака максимальной вместимостью, если для его изготовления отпущено материала?

Решение. Вместимость бака , а на его изготовление пойдет материала площадью .

Отсюда определяем высоту бака .

Тогда вместимость бака .

Найдем то значение R, при котором вместимость V(R) будет максимальной. Имеем:

.

Так как , то при найденном значении R = 3 вместимость бака будет максимальной.

Высота бака находится из полученного выше соотношения:

.

Ответ: R = 3м, H = 3м.

Задача 2.Сечение оросительного канала имеет форму равнобочной трапеции, боковые стороны которой равны меньшему основанию. При каком угле наклона a боковых сторон этой трапеции сечение канала будет иметь наибольшую площадь?

Решение. Определим площадь сечения канала как функцию угла a, считая, что боковые стороны и меньшее основание трапеции равны .

Тогда, как видно из рисунка

 

Исследуем S как функцию аргумента a на экстремум.

Имеем:

.

В критических точках

.

 

Так как , то . Поэтому, если , то или .

 

Докажем, что при функция S достигает наибольшего значения на отрезке . Действительно,

.

 

Поэтому при имеем локальный максимум , который на отрезке будет также наибольшим значением функции S, поскольку S(0) = 0, S(p/2) = a2 < Smax.

 

Задача 3.Известно, что прочность бруса с прямоугольным поперечным сечением пропорциональна его ширине и квадрату высоты . Найти размеры бруса наибольшей прочности, который можно вырезать из бревна радиусом

Решение.Прочность бруса N, вычисляется по формуле , где - коэффициент пропорциональность, . Из рисунка видно, что , т.е.

. Тогда

.

Найдем экстремум функции

:

. Если , то

.

Тогда

Так как , то при найденных значениях и прочность бруса будет максимальной.

 

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1281; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.