Предел функции в точке. Геометрический смысл

Постараемся сформулировать и осмыслить понятие предела и предельного перехода.

О. 1.1 Число называется пределом функции в точке , если для любого наперед заданного сколь угодно малого найдется такая проколотая - окрестность точки, что для всех выполняется неравенство .

.

Итак, что мы скажем о множестве точек ? ,а ? попадает в -окрестность точки аналогично .

Обратим внимание на то, что рассматривается проколотая окрестность , т.к. функция в точке может иметь предел, но может быть в ней не определена. Например: рассмотрим последовательность дробей . Очевидно, что эта последовательность стремится нулю, но сам ноль она не содержит.

В литературе можно встретить определение предела, сформулированное несколько иначе.

О.1.2 Число называется пределом функции , в точке ,

если для любого существует такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство: .

или .

Пусть - непрерывная кривая (простой случай). Рассмотрим геометрический смысл предела.

Величина - задана. Построим - окрестность точки . Чуть-чуть вниз и вверх отложим .(Но мы возьмем ощутимые размеры).

Находим - опустив перпендикуляры на . Отрезки справа и слева могут быть разными. Какой взять? Если взять больший, то выйдет за пределы - окрестности. Выберем меньший отрезок.

.

Геометрический смысл: если - предел функции в точке , то какую ли бы маленькую -окрестность мы не взяли, все точки кривой (посмотрите на чертеж) с абсциссами из попадут в эту окрестность, (за исключением может быть самой точки ).

.

Пример:

. Докажем, что при , .

Зададим . Найдем такое, чтобы

.

Отсюда .