Постараемся сформулировать и осмыслить понятие предела и предельного перехода.
О. 1.1 Число
называется пределом функции
в точке
, если для любого наперед заданного сколь угодно малого
найдется такая проколотая
- окрестность точки
, что для всех
выполняется неравенство
.
.
Итак, что мы скажем о множестве точек
?
,а
?
попадает в
-окрестность точки 
аналогично
.
Обратим внимание на то, что рассматривается проколотая окрестность
, т.к. функция в точке может иметь предел, но может быть в ней не определена. Например: рассмотрим последовательность дробей
. Очевидно, что эта последовательность стремится нулю, но сам ноль она не содержит.
В литературе можно встретить определение предела, сформулированное несколько иначе.
О.1.2 Число
называется пределом функции
, в точке
,
если для любого
существует
такое, что для всех 
, удовлетворяющих неравенству
, выполняется неравенство:
.

или
.
Пусть
- непрерывная кривая (простой случай). Рассмотрим геометрический смысл предела.
Величина
- задана. Построим
- окрестность точки
. Чуть-чуть вниз и вверх отложим
.(Но мы возьмем ощутимые размеры).
Находим
- опустив перпендикуляры на
. Отрезки справа и слева могут быть разными. Какой взять? Если взять больший, то
выйдет за пределы
- окрестности. Выберем меньший отрезок.
.
Геометрический смысл: если
- предел функции
в точке
, то какую ли бы маленькую
-окрестность мы не взяли, все точки кривой (посмотрите на чертеж) с абсциссами из
попадут в эту окрестность, (за исключением может быть самой точки
).
.
Пример:
. Докажем, что при
,
.
Зададим
. Найдем
такое, чтобы
.
Отсюда
.