Предел функции в точке. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, кроме быть может, самой точки х0

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, кроме быть может, самой точки х₀.

Определение 1 («на языке последовательностей», или по Гейне.)

▼ 1. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при ), если для любой последовательности допустимых значений аргумента x_n, (), сходящейся к х₀ (т.е. ), последовательность соответствующих значений функции f(x_n), сходится к числу А (т.е. ).▲

В этом случае пишут или при .

a Геометрический смысл предела функции: означает, что для всех точек х, достаточно близких к точке х₀, соответствующие значения функции как угодно мало отличаются от числа А.

Определение 2 (на «языке ε-δ», или по Коши»

▼ 2. Число А называется пределом функции y=f(x) в точке х₀ (или при ), если для любого положительно ε найдётся такое положительное число δ, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .▲

Записывают .

a Геометрический смысл предела функции: , если для любой ε-окрестности точки А найдётся такая δ-окрестность точки х₀, что для всех из этой δ-окрестности соответствующие значения функции f(x) лежат в ε-окрестности точки А.

Иными словами, точки графика функции y=f(x) лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми у=А +ε, у=А –ε. Очевидно, что величина δ зависит от выбора ε, поэтому пишут δ=δ(ε).

Дата добавления: 2014-01-03