Односторонние пределы

В определении предела функции считается, что х стремится к х₀ любым способом: оставаясь меньшим, чем х₀ (слева от х₀), большим, чем х₀ (справа от х₀), или колеблясь около точки х₀.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х₀ существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

▼Число А₁ называется пределом функции y=f(x) слева в точке х₀, если для любого ε>0 существует число δ=δ(ε)>0 такое, что при выполняется неравенство

. (19)▲

Предел слева записывают так: или коротко: f(x₀-0)=A₁ (обозначения Дирихле).

Аналогично определяется предел справа. Коротко предел справа обозначают или f(x₀+0)=A₂.

▼Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. ▲

Очевидно, если существует , то существуют оба односторонних предела f(x₀-0) и f(x₀+0) и они равны, т.е А=А₁=А₂. Справедливо и обратное утверждение. Если же , то не существует.

4. Предел функции при

Пусть функция y=f(x) определена в промежутке ).

▼Число А называется пределом функции f(x) при ,если для любого положительного числа ε существует такое число M=M(ε)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M выполняется неравенство

|f(x)-A|<ε. (20)▲

Если , то пишут ;

Если , то пишут .

aГеометрический смысл этого определения таков: для любого положительного ε существует такое положительное М, что при или соответствующие значения функции совпадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε.