В определении предела функции
считается, что х стремится к х0 любым способом: оставаясь меньшим, чем х0 (слева от х0), большим, чем х0 (справа от х0), или колеблясь около точки х0.
Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х0 существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.
▼Число А1 называется пределом функции y=f(x) слева в точке х0, если для любого ε>0 существует число δ=δ(ε)>0 такое, что при
выполняется неравенство
. (19)▲
Предел слева записывают так:
или коротко: f(x0-0)=A1 (обозначения Дирихле).
Аналогично определяется предел справа. Коротко предел справа обозначают
или f(x0+0)=A2.
▼Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. ▲
Очевидно, если существует
, то существуют оба односторонних предела f(x0-0) и f(x0+0) и они равны, т.е А=А1=А2. Справедливо и обратное утверждение. Если же
, то
не существует.
4. Предел функции при 
Пусть функция y=f(x) определена в промежутке
).
▼Число А называется пределом функции f(x) при
,если для любого положительного числа ε существует такое число M=M(ε)>0, что при всех х, удовлетворяющих неравенству |x|>M выполняется неравенство
|f(x)-A|<ε. (20)▲
Если
, то пишут
;
Если
, то пишут
.
aГеометрический смысл этого определения таков: для любого положительного ε существует такое положительное М, что при
или
соответствующие значения функции совпадают в ε-окрестность точки А, т.е. точки графика лежат в полосе шириной 2 ε, ограниченной прямыми у=А+ε и у=А-ε.