По определению предела имеем

Доказательство

Дано: (2)

и .

Доказать: .

(3)

Аналогично: (4)

Пусть , тогда будут выполняться неравенства (3) и (4).

По условию , следовательно

.

Т.е. и по определению предела .

Геометрическая интерпретация теоремы

Возьмем произвольную окрестность точки А. По условию существует такая проколотая -окрестность точки, что все значения функций и попадут в окрестность точки А. Тогда в силу неравенства (2) значения функции также попадут в окрестность точки А.