Конспект лекции

МНОЖЕСТВА И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ. ПОДМНОЖЕСТВА.

Опр. – «определение».

Понятие множества является одним из основных неопределяемых понятий математики.

Опр. Множество представляет собой совокупность некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку.

Пример.

· множество учащихся в классе;

· множество букв алфавита;

· множество натуральных чисел;

· множество книг и т.д.

Приведите свои примеры.

Опр. Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами (например, буква «К» алфавита).

Элементы множества обозначаются маленькими буквами латинского или греческого алфавита, а множества – заглавными или записываются в фигурных скобках.

Пример. A, V, U или {a, b, c, d, e}

Графическое обозначение множества А.

Запись α∈A означает, что элемент ∝ принадлежит множеству А.

Запись α А означает, что элемент ∝ не принадлежит множеству А.

Пример. N – множество натуральных чисел, тогда 2∈N и 2,5 N.

Опр. Множество называется заданным (известным), если перечислены все его элементы или указано такое свойство его элементов, которое позволяет судить о том, принадлежит данный элемент этому множеству или нет.

Пример. P={а, б, в, г, д} – перечисление всех элементов множества.

{ } – обозначение множества.

M={x∈Z | x ⋮ 2} – множество четных чисел.

| - заменяет слова «таких, что» или «такие, что»

⋮ - означает, что число делится нацело.

Опр. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.

Пример. А={1, 2, 3, 4} и В={4, 3, 2, 1}, то А=B.

Опр. Если любой элемент множества B является и элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (т.е. его частью) и обозначается B А или А В.

Замечание: Любое множество является своим подмножеством. А А

Опр. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым (обозначается ∅).

Замечание:

1) по определению, пустое множество является подмножеством любого множества;

2) у любого множества А есть два подмножества: А и ∅ (эти подмножества называются тривиальными).

Пример. Рассм. множество M={1, 5}. Его подмножества {1, 5}, {1}, {5}, ∅.

Пересечение множеств.

Опр. Множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат каждому из данных множеств А и В, называется пересечением множеств и обозначается А ∩ В.

Пример.

1) Графическая иллюстрация.

2) Рассм. множества A={1, 2, 8, 10} и B={2, 6, 8, 12}. Пересечением множеств А и В является множество C=A∩B={2, 8}.

3) Рассм. множества A={x ∈ N | x ⋮ 2} и B={x ∈ N | x ⋮ 3}. Пересечением этих множеств будет множество С = A∩B ={x ∈ N | x ⋮ 6}.

Опр. Два множества, пересечением которых является пустое множество, называются непересекающимися множествами.

Приведите свои примеры непересекающихся множеств.

Объединение множеств.

Опр. Объединением множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из всех элементов множеств А и В и только из них, и обозначается С=А∪В.

Замечание: если множества А и В имеют общие элементы, т.е. А∩B≠∅, то каждый из общих элементов берется в множество С только 1 раз.

Пример:

1) Графическая иллюстрация.

2) Рассм. множества А={1, 2, 8, 10} и B={2, 6, 8, 12}. Объединением множеств А и В является множество C = A ∪ B = {1, 2, 6, 8, 10, 12}.

3) Рассм. множества A={x ∈ N | x ⋮ 2} и B={x ∈ N | x ⋮ 3}. Пересечением этих множеств будет множество С = A ∪ B ={x ∈ N | x ⋮ 2 или x ⋮ 3 }.

Вычитание множеств. Дополнение до множества.

Опр. Множество С, которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, называется разностью множеств А и В. Обозначается A\B.

Пример:

1) Графическая иллюстрация.

2) Рассм. множества А={1, 2, 8, 10} и B={2, 6, 8, 12}. Разностью множеств А и В является множество C = A \ B = {1, 10}.

3) Рассм. множества A={x ∈ N | x ⋮ 2} и B={x ∈ N | x ⋮ 3}. Разностью множеств А и В будет множество С = A \ B ={x ∈ N | x ⋮ 2 и x 6}.

Опр. Если А В, то A\B называется дополнением множества В до множества А.

Прямое произведение двух множеств.

Опр. Прямым произведением множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары (x; y), в которых первым компонентом является элемент из множества А, вторым компонентом – элемент из множества В. Обозначается А×В (или декартовое произведение).

Пример. Рассм. А={3;5} и B={2;5}. С=А×В = {(3;2); (3;5); (5;2); (5;5)}

В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

– означает «из предложения следует предложение»;

– «предложения и равносильны», т.е. из следует и из следует;

– означает «для любого», «для всякого»;

– «существует», «найдется»;

: – «имеет место», «такое что»;

– «соответствие».

Например:

1) запись означает: «для всякого элемента имеет место предложение»;

2); эта запись определяет объединение множеств и.

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ.

Высказывания.

Опр. Под высказыванием понимают всякое утверждение, о котором есть смысл говорить, что оно истинное или ложное (верное или неверное).

Пример.

- слон – это насекомое.

- 7 – это простое число.

Не всякое предложение является высказыванием: в колледж поступить легко. (так как судить об истинности или ложности невозможно).

Не является высказыванием определение, призыв, вопрос.

Каждое высказывание или истинно или ложно (одновременно быть истинным или ложным быть не может.

Обозначаются высказывания латинскими буквами. Р=«В сутках 24 часа».

Логические операции.

При помощи операции дополнения, пересечения, объединения из данных множеств получаются новые множества. Подобно этому вводятся операции и для высказываний.

Опр. Отрицанием высказывания Р называется высказывание, которое истинно только тогда, когда высказывание Р ложно и обозначается Р или.

Дата добавления: 2014-01-03