Теорема Коши об отношении конечных приращений двух функций

Если - две дифференцируемые на функции, причем обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы. Составим вспомогательную функцию

Заметив, что функция на отрезке удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, заключаем, что существует такое значение что следовательно,

2) Если дифференцируемая функция убывает на некотором промежутке, то ее производная не положительна на этом промежутке; т.е.

Доказательство. 1) Пусть дифференцируемая функция возрастает на Согласно определению производной

2) Доказательство второй части теоремы аналогично доказательству первой части (провести самим!).

Замечание. Геометрически утверждение теоремы сводится к тому, что для графика возрастающей дифференцируемой функции касательные образуют с положительным направлением оси острые углы α при Для любых двух значений в силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях имеем то отсюда получим или Следовательно, функция возрастает на отрезке

2) Доказательство второй части этой теоремы совершенно аналогично доказательству первой ее части (провести самим!).

Функция возрастающая или убывающая называется монотонной. Промежутки, в которых данная функция возрастает или убывает, называются промежутками монотонности этой функции.

Пример. Определить промежутки монотонности функции

Производная равна - функция возрастает; при имеем если

не должно зависеть от способа стремления к нулю, то отсюда следует, что обозначает, что в точке

касательная к графику функции параллельна оси

Следствие из теоремы.

Если при всех рассматриваемых значениях аргумента функция имеет производную, то она может иметь экстремум только при тех значениях, при которых производная обращается в нуль.

Обратное заключение неверно: не при всяком значении, при котором производная обращается в нуль, обязательно существует экстремум. Например, функция при имеет производную, равную нулю: В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума:

Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существует и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует.

Те значения аргумента которые для данной функции обращают в нуль ее производную не существует, называются критическими значениями аргумента или критическими точками первого рода.

Дата добавления: 2014-01-03