Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема 2 о достаточных условиях существования экстремума





Теорема 1 о достаточных условиях существования экстремума

Пусть функция непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку первого рода и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме быть может, самой точки Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то при функция имеет максимум. Если же при переходе через точку слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

то в точке функция имеет максимум;

если

то в точке функция имеет минимум.

При этом надо иметь ввиду, что условия должны выполняться для всех значений достаточно близких к т.е. во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки

Доказательство. Предположим сначала, что производная меняет знак с плюса на минус, т.е. выполняются условия Применяя теорему Лагранжа к разности получим

и для достаточно близких к выполняется условие значит в точке - максимум. В точке и для всех значений достаточно близких к выполняются неравенства

 

Значит функция возрастает как при так и при Следовательно при функция не имеет ни максимума, ни минимума.

Если для дифференцируемой функции в некоторой точке ее первая производная то в этой точке функция имеет экстремум, а именно:

1) если то - минимум функции и

2) если то - максимум функции

Доказательство. 1) Пусть то Таким образом, переменная величина при Отсюда получаем, что числитель и знаменатель дроби и при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. На основании теоремы 1 число есть минимум функции

2) Аналогично доказывается, что если а за ее производную Так как кривая на выпукла, то то Используя теорему Лагранжа, будем иметь - возрастающая функция.

Пусть ; тогда и в силу возрастания , следовательно, при кривая выпукла, а при - вогнута.





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 379; Нарушение авторских прав?


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2020) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.