Энергия электромагнитного поля. Теорема Умова-Пойтинга

Энергия электромагнитного поля.

Плотность энергии электрического поля определяется как

.

Плотность энергии магнитного поля имеет вид

.

Плотность энергии электромагнитного поля может быть представлена как

.

Энергия электромагнитного поля в объеме

,

Для однородных изотропных сред (,,) имеем:

,

,

что при подстановке в (3.31) дает

.

Вектор Пойнтинга.

Векторное произведение обозначим через Вектор называют вектором Пойнтинга, он одновременно характеризует электрическое и магнитное поля и имеет размерность поверхностной плотности мощности –. Вектор Пойнтинга образует с векторами и правую тройку, или правоходовую систему (рис.1.3).

Рис.1.3

Теорема Умова-Пойтинга математически выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле. Теорема представляет собой своеобразное уравнение энергетического баланса в теории поля подобно уравнению баланса мощностей в электрических цепях.

Выделим в переменном электромагнитном поле некоторый объем V, ограниченный поверхностью S. Внутри выделенного объема могут оказаться час­тично или полностью ис­точники и приемники электрической энергии в любых сочетаниях. Будем считать среду однородной и изотропной. Электромагнитное поле внутри объема описывается системой уравнений Максвелла:

, (1.7)

, (1.8)

. (1.9)

Здесь - вектор стороннего электрического поля (внутри источников электрической энергии).

Умножим скалярно уравнение (1.7) на, уравнение (1.8) на, и вычтем почленно ле­вые и правые части уравнений:

.

Из курса математики известно, что

Преобразуем правые части уравнения. Из закона Ома (1.9) следует:

;

.

После преобразования получим:

Проинтегрируем все члены полученного уравнения по выделенному объ­ему V:

Исследуем каждое слагаемое уравнения. По теореме Остроградского-Гаусса:

,

где - вектор Пой­нтинга [Вт/м ], численно равный плотности потока мощности в рассматриваемой точке;

- мощность тепловых потерь или потребляемая мощ­ность в заданном объеме, эта мощность всегда положительна;

- мощность источников энергии внутри объема, эта мощность от­рицательна, если векторы и совпадают, и положительна, если эти векторы не совпа­дают;

- мощность элек­тро­магнитного поля, она положительна, если идет процесс накопления энергии в объеме, и от­рицательна, если идет процесс возврата энергии.

Таким образом, после принятых обозначений теорема Умова-Пойтинга получит вид:

.

Формулировка теоремы Умова-Пойтинга:

небаланс мощности в заданном объеме V компенсируется потоком вектора Пойнтинга, направленным внутрь объема (знак -) че­рез замкнутую поверхность S, ограничивающую этот объем.

Вектор Пойнтинга характеризует величину и направ­ление энергии, проходя­щей в единицу времени через единицу площади в на­правлении вектора Пойнтинга.

Теорема Умова–Пойнтинга имеет большое прикладное значение, поскольку позволяет получить информацию о процессе передачи энергии от источника к приемнику.

Дата добавления: 2014-01-03