Уравнение Пуассона и Лапласа

Потенциал и напряженность электрического поля диполя

Рассмотрим систему из двух разноименных, но равных по абсолютной величине точечных зарядов, находящихся на расстоянии l. Ее электрическим моментом является вектор

где q – абсолютная величина каждого заряда,

– вектор с абсолютным значением l и направленный от положительного заряда к отрицательному.

Поле этой системы будем исследовать на расстояниях r, значительно превышающих ее размер

r >> l.

Потенциал диполя в произвольной точке М равен

Полагая в соответствии с рисунком,

r ₁ r ₂→ r ² и r ₁ – r ₂ → l ∙cos(θ),

находим:

Теперь по формуле можно определить поле диполя. Это проще всего сделать, пользуясь сферической системой координат

получаем

Рис.2.12

Е ₀

Е _r

Как и следовало ожидать, поле диполя симметрично относительно его оси. Силовые линии поля в меридиональной плоскости изображены на рисунке.

Расчет электростатических полей с использованием уравнений и возможен только в простейших случаях. Наиболее общим методом является расчет электро­статических полей на основе решения уравнений Пуассона и Лапласа относительно потенциала. Выве­дем эти уравне­ния.

Ранее было получено. Тогда:

, откуда следует:

или

. (2.5)

Уравнение (2.5) называется уравнением Пуассона. – Лапласиан.

В декартовой системе координат может быть представлено в форме

.

Уравнение Пуассона справедливо для тех точек среды, где существуют объемные за­ряды.

Решение уравнения Пуассона в общем виде можно найти следующим образом. Положим, что в объеме V есть объемные r заряды. Эти заряды представим в виде совокупности точечных зарядов: r dV, где dV – элемент объема. Составляющая потенциала d j электрического поля от элементарного заряда r dV равен

.

Значение j определяется как сумма (интеграл) их потенциала от всех зарядов поля:

Предполагается, что потенциал на бесконечности равен нулю и заряды, создающие поля распределены в ограниченной области (иначе интеграл может оказаться расходящимся).

В реальных условиях свободные заряды располагаются на поверхности проводников бесконечно тонким слоем.

В диэлектриках, которыми разделены заряженные проводники, объемные заряды от­сутствуют, уравнение Пуассона в диэлектрике превращается в уравнение Лапласа:

или

.

Дата добавления: 2014-01-03