И энергии через векторный потенциал

Выражение магнитного потока

Магнитный поток через индукцию

Используя теорему Стокса, получим:

. (4.16)

.

Согласно магнитный поток сквозь поверхность равен линейному интегралу от векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Рис.4.1

Для вычисления магнитного потока по формуле (4.16) достаточно знать векторный потенциал только на контуре, ограничивающем эту поверхность, т.е. интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру, что во многих случаях значительно упрощает расчеты. Сравнивая (4.16) и первое уравнение (4.2), можно провести формальное сопоставление (4.16) с законом полного тока, примененным к одиночному проводу с током: линии вектора охватывают магнитный поток подобно тому, как линии вектора в однородной среде охватывают ток (рис. 4.1).

Известно, что с магнитным полем связана энергия, распределенная в пространстве с плотностью

, так как В = μН.

В некоторой области V она определяется интегралом

, так как.

Используя равенство получим

Преобразуем второе слагаемое по теореме Остроградского-Гаусса

При учете всей энергии поля подынтегральное выражение в последней формуле устремляется к нулю так как векторный потенциал и напряжение магнитного поля убывают быстрее, чем r ^–2, а площадь увеличивается пропорционально r ². Таким образом, с учетом получаем:

.

Необходимо отметить, что величина не является плотностью энергии. Если предположить, что – плотность энергии магнитного поля, то немедленно следует, что вся энергия магнитного поля заключена в области, где (например, в проводах). Однако физически данное утверждение неверно, так как энергией обладают все точки, где, т.е. не только в области, где, но и вне ее (не только в проводах, но и вокруг них). Выражение (4.18) просто устанавливает связь между энергией поля и векторным потенциалом.

Для системы контуров с токами, ограничивающих объемы (рис. 4.2), энергию магнитного поля можно рассчитать по формуле

.

Рис. 4.2

Если контуры образованы линейными проводниками (линейные контуры), меняя на и переходя к интегралу по контуру, получим:

. (4.17)

С учетом (4.16) выражение (7.17) примет вид

, (4.18)

где – постоянный ток, протекающий по -му линейному контуру.

Формула (4.18) определяет магнитную энергию взаимодействия линейных контуров с токами (энергию магнитного поля, созданного системой контуров с токами).

Дата добавления: 2014-01-03