Наклонные асимптоты

Вертикальные асимптоты

Асимптоты

Очень часто приходится исследовать форму кривой при неограниченном возрастании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность (т.е. когда расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает) неограниченно приближается к некоторой прямой.

Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю. Асимптоты бывают вертикальные и наклонные.

Из определения асимптоты следует, что если или или то прямая есть асимптота кривой и обратно, если прямая есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств.

Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения при приближении к которым функция стремится к бесконечности. Тогда прямая будет вертикальной асимптотой.

Пример. Кривая имеет вертикальную асимптоту т.к.

Наклонных асимптот у кривой может быть две – правая и левая. Пусть кривая имеет правую наклонную асимптоту (1). Определим По условию

Так как то (2').

Но (3).

Вынося за скобки, получим

Так как то должно выполняться

При получим

Следовательно, или

Зная из (3) находим

Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая не имеет правой асимптоты.

Аналогично ищется левая асимптота где находятся по формулам

Если хотя бы один из этих пределов не существует, то кривая не имеет левой асимптоты.

Дата добавления: 2014-01-03