Теорема о достаточном признаке точки перегиба

Теорема о необходимом признаке точки перегиба

Точки перегиба

Точкой перегиба графика дифференцируемой функции называется его точка, при переходе через которую кривая меняет свою вогнутость на выпуклость или наоборот.

Если - абсцисса точки перегиба графика дифференцируемой функции то либо либо не существует.

Доказательство. Мы определили точку перегиба, как такую точку графика, которая отделяет выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой. Из доказанной выше теоремы о необходимом условии вогнутости (выпуклости) графика функции следует, что с одной стороны от точки а с другой таким образом, точка разделяет два интервала монотонности функции Применяя теорему о необходимом условии экстремума функции, получаем, что если – абсцисса точки перегиба, то либо равняется нулю, либо не существует.

Те точки в которых или не существует, называются критическими точками второго рода для функции Критическая точка второго рода не обязательно должна быть абсциссой точки перегиба, но только среди критических точек второго рода надо искать абсциссы точек перегиба.

Если для функции вторая производная ее в некоторой точке обращается в нуль или не существует и при переходе через эту точку меняет свой знак на обратный, то точка является точкой перегиба графика функции.

Доказательство. 1) Пусть и при Тогда при кривая выпукла, а при - вогнута. Следовательно, точка есть точка перегиба.

2) Если и то при кривая вогнута, а при – выпукла. Следовательно, точка есть точка перегиба.

Обратим внимание на разницу в характере терминов: точкой экстремума функции называется точка на оси независимой переменной, а точкой перегиба – точка самого графика. Это связано с тем, что понятие экстремума относительное, зависящее от выбранной системы координат: точка на линии, соответствующая точке экстремума, например, точке максимума, - вершина в одной системе координат может не быть вершиной в какой-нибудь другой системе координат; определение же точки перегиба не зависит от системы координат.

Лекция 4

Дата добавления: 2014-01-03