Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно используется для управления народным хозяйством.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

x_i — общий (валовый) объем продукции i -й отрасли за данный промежуток времени;

x_ij — объем продукции i -й отрасли, расходуемой j -й отраслью в процессе производства;

y_i — объем продукции i -й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей производственной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу.

Производственное потребление	Конечное потребление	Валовый выпуск
х 11 х 12 ... х 1n x 21 x 22 ... x 2 n .............................. xn 1 xn 2... xnn	y 1 y 2 ... yn	x 1 x 2 ... xn

Так как валовый объем продукции любой i -й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

(1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат, показывающие затраты продукции i -й отрасли на производство единицы продукции j -й отрасли.

Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты a_ij будут постоянными, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

,

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса называется линейной. Соотношения баланса (1) примут вид:

(2)

или в матричной записи

Х = А · Х + У, (3)

где, Х =, У =,

А — матрица прямых затрат, Х — вектор валового выпуска, У — вектор конечного потребления.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления У. Перепишем уравнение (3) в виде Х – АХ = У, или Е · Х – А · Х = У, (Е – А) · Х = У, откуда

Х = (Е – А)^–1 ·Y. (4)

Матрица (Е – А)^–1 называется матрицей полных затрат. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения x_i должны быть неотрицательными при y_i ³ 0 и a_ij ³ 0, где.

Матрица А ³ 0 называется продуктивной, если для любого вектора У ³ 0 существует решение Х ³ 0 уравнения (3). В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

Теорема 1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (Е – А)^–1 существует и ее элементы неотрицательны.

Теорема 2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Пример

№ п/п	Отрасль	Потребление	Конечный продукт, У	Валовый выпуск, Х
1.	Добыча и переработка углеводородов
2.	Энергетика
3.	Машиностроение

Решение

1. По таблице баланса трех отраслей промышленности составим матрицу А прямых затрат А = (a_ij), где,

2. Проверим продуктивность матрицы А (по теореме 2)

Так как сумма элементов по любому столбцу не превосходит единицы, и есть столбец, в котором сумма элементов меньше 1, то матрица А продуктивна.

3. Найдем матрицу полных затрат (Е – А)^–1. Составим матрицу:

.

Вычислим определитель матрицы Е – А:

Построим матрицу алгебраических дополнений матрицы Е – А = В:

.

.

Союзная матрица

Матрица полных затрат

Проверка:

4. Найдем объем валового выпуска Х _* по каждой отрасли, если конечное потребление У увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, тогда конечный продукт. Согласно формуле (4)

Таким образом, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта соответственно на 30, 10, 50% необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски добычу и переработку углеводородов на 26,26%, уровень энергетики на 19,54% и выпуск продукции машиностроения на 30,52% по сравнению с исходными величинами, указанными в таблице.

Ответ:

1) матрица А прямых затрат:

;

2) матрица полных затрат:

;

3) если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, то прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли составит соответственно 26,26; 19,54; 30,52%.

Дата добавления: 2014-01-03