Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики


Основной задачей при математическом моделировании экономических процессов является задача создания модели межотраслевого баланса. Модель эта называется моделью Леонтьева (по имени ее создателя) и активно используется для управления народным хозяйством.

Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутрипроизводственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления. Рассмотрим процесс производства за некоторый период времени (например, год).

Введем следующие обозначения:

xi — общий (валовый) объем продукции i-й отрасли за данный промежуток времени;

xij — объем продукции i-й отрасли, расходуемой j-й отраслью в процессе производства ;

yi — объем продукции i-й отрасли, предназначенный к потреблению в непроизводственной сфере — объем конечного потребления. Этот объем составляет обычно более 75% всей производственной продукции. В него входят создаваемые в хозяйстве запасы, личное потребление граждан, обеспечение общественных потребностей (просвещение, наука, здравоохранение, развитие инфраструктуры и т.д.), поставки на экспорт.

Указанные величины можно свести в таблицу.

Производственное потребление Конечное потребление Валовый выпуск
  х11 х12 ... х1n x21 x22 ... x2n .............................. xn1 xn2 ... xnn   y1 y2 ... yn   x1 x2 ... xn  

Так как валовый объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями, и конечного продукта, то

(1)

Уравнения (1) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в (1), имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат , показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы продукции j-й отрасли.



Можно полагать, что в некотором промежутке времени коэффициенты aij будут постоянными, это означает линейную зависимость материальных затрат от валового выпуска, т.е.

,

вследствие чего построенная на этом основании модель межотраслевого баланса называется линейной. Соотношения баланса (1) примут вид:

(2)

 

или в матричной записи

 

Х = А · Х + У, (3)

 

где , Х = , У = ,

А — матрица прямых затрат, Х — вектор валового выпуска, У — вектор конечного потребления.

 

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого вектора валового выпуска X, который при известной матрице прямых затрат А обеспечивает заданный вектор конечного потребления У. Перепишем уравнение (3) в виде ХАХ = У, или Е · ХА · Х = У, (Е – А) ·Х = У, откуда

Х = (ЕА)–1 ·Y. (4)

 

Матрица (ЕА)–1 называется матрицей полных затрат. В соответствии с экономическим смыслом задачи значения xi должны быть неотрицательными при yi ³ 0 и aij ³ 0, где .

 

Матрица А ³ 0 называется продуктивной, если для любого вектора У ³ 0 существует решение Х ³ 0 уравнения (3). В этом случае модель Леонтьева называется продуктивной.

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

Теорема 1. Матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда матрица (ЕА)–1 существует и ее элементы неотрицательны.

Теорема 2. Матрица А с неотрицательными элементами продуктивна, если сумма элементов по любому ее столбцу (строке) не превосходит единицы:

,

причем хотя бы для одного столбца (строки) эта сумма строго меньше единицы.

Пример

 

№ п/п Отрасль Потребление Конечный продукт, У Валовый выпуск, Х
  1.       Добыча и переработка углеводородов                                
2. Энергетика
3. Машиностроение

 

Решение

1. По таблице баланса трех отраслей промышленности составим матрицу А прямых затрат А = (aij), где ,

 

 

 

2. Проверим продуктивность матрицы А (по теореме 2)

 

 

Так как сумма элементов по любому столбцу не превосходит единицы, и есть столбец, в котором сумма элементов меньше 1, то матрица А продуктивна.

 

3. Найдем матрицу полных затрат (ЕА)–1. Составим матрицу:

 

.

 

Вычислим определитель матрицы ЕА:

 

 

 

Построим матрицу алгебраических дополнений матрицы ЕА = В:

 

.

 

 

 

 

.

 

 

Союзная матрица

 

Матрица полных затрат

 

Проверка:

 

 

4. Найдем объем валового выпуска Х* по каждой отрасли, если конечное потребление У увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, тогда конечный продукт . Согласно формуле (4)

 

 

 

Таким образом, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта соответственно на 30, 10, 50% необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски добычу и переработку углеводородов на 26,26%, уровень энергетики на 19,54% и выпуск продукции машиностроения на 30,52% по сравнению с исходными величинами, указанными в таблице.

Ответ:

1) матрица А прямых затрат:

;

2) матрица полных затрат:

;

 

3) если конечное потребление увеличить по отраслям соответственно на 30, 10 и 50%, то прирост объемов валовых выпусков по каждой отрасли составит соответственно 26,26; 19,54; 30,52%.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Собственные векторы и собственные значения матрицы | Проекция вектора на ось

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 610; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.007 сек.