Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Собственные векторы и собственные значения матрицы





Пусть дана квадратная матрица А порядка n

 

 

 

Определение 1. Всякий ненулевой вектор Х, удовлетворяющий условию А·Х = λ·Х называется собственным вектором матрицы А, а соответствующее ему число λ – собственным значением матрицы А.

 

А·Х - λ·Х = 0, А·Х - λ·Е·Х = 0, ( А - λ·Е )· Х = 0,

 

где Е – единичная матрица, а вектор Х = .

Матричное уравнение ( А - λ·Е )· Х = 0 имеет вид при переходе к покоординатному равенству:

 

(1)

 

Нас интересуют ненулевые решения однородной системы, поэтому приравняем определитель однородной системы к нулю: det ( A – λE)=0

 

или = 0 (2)

Левая часть уравнения (2) называется характеристическим многочленом матрицы А: det ( A – λE). Это многочлен n – ой степени, он может иметь не более n действительных корней.

Действительные корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы А.

При последовательной подстановке в систему (1) для каждого λ находится ненулевое решение однородной системы (2) – собственный вектор линейного преобразования, заданного матрицей А.

 

Алгоритм нахождения собственных векторов

1. Составить матрицу А- λЕ и характеристическое уравнение det ( A – λE)=0.

2. Найти корни характеристического уравнения : .

3. Подставить значение корня в однородную систему (2) и найти соответствующий собственный вектор.

Пример. Найти собственные векторы и собственные значения матрицы

А =

Решение

Составим матрицу А- λЕ = и перейдем в соотношении ( А - λ·Е )· Х = 0 к покоординатному равенству

 

(3)

где координаты собственного вектора Х.

Составим характеристическое уравнение матрицы А для нахождения собственных значений:

det ( A – λE) = 0 или .

 

Имеем det ( A – λE) = (4-λ)

 

=- .

Характеристическое уравнение - имеет действительные корни

 

Найдем собственный вектор , отвечающий собственному значению для чего это значение λ = 0 подставим в однородную систему (3)



 

 

При определитель этой системы равен нулю, поэтому однородная система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Найдем их методом Гаусса

 

 

 

2 – 5С1→С2/ С32→С3/

3 - 3С1 →С3/

 

Получим равносильную систему трапецеидального вида:

 

 

или

Положим х3 = 3t, тогда х2= 2 t, х1= t, получим собственный вектор

 

, где t .

Рассуждая аналогично, получим при

Найдем ненулевые решения этой системы

 

 

 

С3:3→С1/2-5С1→С2/ С32→С3/

С1→С3/3-3С1→С3/

 

Имеем однородную систему откуда следует

1 = 3х23=3х33=2х3 или .

Положим получим собственный вектор , где s .

Ответ:

, где t ;

, , где s .





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 352; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.