Матрица линейного оператора

Свойства линейных операторов, действующих из Х в Х. Определение обратного оператора. Условие обратимости линейного оператора

Определение1. Линейный оператор называется линейным преобразованием пространства Х.

Изучим подробнее свойства линейных преобразований L(Х,Х).

Определение 2. Единичным или тождественным оператором называется линейный оператор, который ставит в соответствие этот же вектор х и обозначается,

Определение 3. Произведением операторов и L(Х,Х) называется оператор ∙, действующий по правилу: (∙.

В общем случае ∙ ∙.

Свойства

1) λ∙(∙ ∙;

2) (

3);

4) (

Определение 4. Линейный оператор называется обратным для оператора L(Х,Х), если ∙ ∙.

Обратный оператор для оператора обозначается символом Из определения следует, что

Если Если оператор имеет обратный, то из условия следует, что = и потому х=0.

Линейный оператор L(Х,Х) действует в векторном пространстве Х взаимно однозначно, если для ₁, х_{2 1} х₂ соответствующие значения у₁ =.

Теорема. Для того, чтобы линейный оператор L(Х,Х) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы действовал взаимно однозначно их Х в Х.

Пусть Х – линейное пространство с базисом е = (е₁ , е₂ , …, е_n). Тогда можно представить в виде

x = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х _n е_n = (1)

Формула (1) представляет собой разложение вектора х по базису е. Пусть L(Х,Х), тогда = х₁ е₁ + х₂ е₂ + … + х_n е_n ) =

х₁ е₁) х₂ е₂) + …+ х_n е_n) = (2)

Элемент, так как. Поскольку е = (е₁ , е₂ , …, е_n) – базис,то вектор можно разложить по этому базису:

, (3)

где - коэффициенты разложения вектора по базису

е = (е₁ , е₂ , …, е_n) .

Равенство (2) с помощью представления (3) можно теперь записать в другой форме

и элемент у имеет координаты в базисе е:

y = у₁ е₁ + у₂ е₂ + … + у_n е_n =, тогда

, где i.k =1,2,…, n. (4)

Рассмотрим квадратную матрицу порядка п А=(), i,k=1,2,…, n. Эта матрица называется матрицей линейного оператора в базисе е.

Примеры:

1) Х=R², A =, X=, Y=, A∙X=Y,;

2) Х=R³ , А=.

Теорема. Пусть в линейном пространстве Х задан базис е = (е₁ , е₂ , …, е_n) и пусть А=() – квадратная матрица порядка п. Тогда существует единственный линейный оператор, матрицей которого в базисе

е = (е₁ , е₂ , …, е_n) является матрица А.

75.13.4. Переход к новому базису. Матрица перехода и её основные свойства. Связь координат вектора и матриц линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть е = (е₁ , е₂ , …, е_n) – старый базис, ) – в линейном пространстве Х размерности п. Каждый из векторов нового базиса можно выразить через векторы старого базиса:

а также представить в матричной форме

) = (е₁ , е₂ , …, е_n) ∙

или в матричной форме е ∙ Т, где

- матрица перехода от старого базиса е к новому базису.

Замечание. Координаты разложения векторов нового базиса по старомубазису е в матрице перехода располагаются по столбцам.

Пример.

Матрица перехода от базиса е к базису имеет вид Т=.

Если е ∙ Т, то е =, где обратная к матрице Т матрица является матрицей перехода от нового базиса к старому базису е.

Свойства матрицы перехода

1) Матрица перехода Т от старого базиса к новому является невырожденной, т.е. det T.

2) Матрица перехода от нового базиса к старому имеет вид.

3) Координаты вектора х в разных базисах связаны матрицей перехода.

Пусть Х = – координаты вектора х в старом базисе е, т.е.

х =, а Х^/ -координаты вектора х в новом базисе, т.е. х = а Т - матрица перехода от базиса е к базису, тогда

Х = Т ∙ Х^/ и Х^/ = Т^-1 ∙ Х. (5)

Формулы (5) представляют собой связь координат вектора в старом и новом базисах через матрицу перехода.

Пример. Векторы х=(1,3,-2), =(1,1,0), =(1,0,1), = (0,1,1) заданы координатами в старом базисе е₁ , е₂ , е₃. Найти координаты вектора х в новом базисе.

Решени.

х =

Матрица перехода Т= от базиса е

к базису.

Х^/ = Т^-1 ∙ Х =∙=, т.е. х =

4) Рассмотрим поведение линейного оператора при замене базиса: при переходе от старого базиса е к новому базису матрица А линейного оператора изменяется, а определитель матрицы оператора сохраняет свою величину. Оператор описывается различными матрицами в разных базисах, что демонстрирует различие между матрицей и оператором.

Пусть А – матрица линейного оператора в базисе е, А^/ - матрица линейного оператора в базисе, тогда

А^/ = Т^-1 ∙ А ∙ Т и А = Т∙ А^/ ∙ Т^-1, (6)

причемdet A =det А^/. Формулы (6) устанавливают связь между матрицами линейного оператора в разных базисах.

Замечание.

1) Понятие линейного оператора не тождественно понятию матрицы. Один и тот же оператор может описываться разными матрицами.

2) Подбором нового базиса (и матрицы перехода Т) можно привести матрицу линейного оператора к различным формам (например, треугольной, диагональной).

Пример. В базисе е линейный оператор задан матрицей А=. Найти матрицу оператора в новом базисе, связанном со старым базисом матрицей перехода Т=: е.

Решение. А^/ = Т^-1 ∙ А ∙ Т = = =

\

Дата добавления: 2014-01-03