Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

Понятие квадратичной формы

Лекция 14. Квадратичные формы

14.1. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы

14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

14.4. Свойства канонических форм. Критерий Сильвестра

Определение. Квадратичной формой от n переменных х₁, х₂,… х_n называется однородный многочлен второй степени от этих переменных

f(х₁, х₂,… х_n) =

= +

+

+

где некоторые числовые коэффициенты. Составим матрицу квадратичной формы: А=. Заметим, что коэффициенты при произведениях и равны между собой: =, следовательно, матрица квадратичной формы симметричная А=А^Т.

Если коэффициенты квадратичной формы - вещественные числа, то квадратичная форма называется вещественной.

Пример 1. Квадратичная форма от двух переменных

f(х₁, х₂) =

Пример 2. Квадратичная форма от трех переменных f(х₁, х₂, х₃) = + + +.

Представим квадратичную форму в матричном виде:

обозначим Х= X^T=(, тогда

f(х₁, х₂,… х_n) =(

и f(х₁, х₂,… х_n) = X^T∙А∙Х.

Пример 3. Написать матрицу квадратичной формы

1) f(х₁, х₂, х₃)=

2) f(х₁, х₂, х₃)= + 4

Решение. 1) А=, 2) А=.

Определение 1. Если некоторые величины выражаются линейно и однородно через величины, т.е.

(1)

или сокращенно j=1, 2,…, n, где - произвольные числа, то такое преобразование называется линейным.

Составим матрицы Х=, С=, y=, тогда линейное преобразование можно записать в матричной форме: Х = С∙ У, где С- матрица линейного преобразования.

Определение 2. Линейное преобразование (1) переменных называется неособенным, если его матрица С неособенная (det C.

Если линейное преобразование с матрицей С неособенное, то существует обратная матрица С^-1 и преобразование У=С^-1∙Х называется обратным преобразованием переменных.

Определение 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования называются собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.

Выясним, что произойдет с квадратичной формой при неособенном линейном преобразовании переменных Х = С∙ У, в этом случае мы получим квадратичную форму от переменных и квадратичная форма поменяет свою матрицу.

Теорема 1. Если в квадратичной форме с матрицей А сделано неособенное линейное преобразование переменных Х = С∙ У, то новая квадратичная форма имеет матрицу В = С^Т∙А∙С.

Доказательство.

f (X)= f(х₁, х₂,… х_n) = X^T∙А∙Х. Если Х = С∙ У, тогда квадратичная форма в матричном виде (С∙У)^Т∙А∙(С∙У)= У^Т∙С^Т∙А∙С∙У= У^Т∙(С^Т∙А∙С)∙У и новая квадратичная форма от переменных L (y) =L()= У^Т∙(С^Т∙А∙С)∙У имеет матрицу В = С^Т∙А∙С, что и т.д.

Замечание. В некоторых задачах бывает удобнее ввести обратное линейное преобразование в виде У=С^-1∙Х, и если квадратичная форма L (y) имеет матрицу В, то L (y) = (С^-1∙Х)^TB С^-1∙Х = Х^T ((С^-1)^ТB С^-1)∙Х и матрица квадратичной формы от переменных х₁, х₂,… х_n А= (С^-1)^ТB С^-1.

Пример 1. Как изменится матрица квадратичной формы f(x)= - при линейном преобразовании векторов х₁=3у₁-2у₂, х₂=у₁+2у₂?

Решение. Матрица заданной квадратичной формы равна А =, а матрица С линейного оператора при линейном преобразовании переменных С= Под действием линейного оператора матрица новой квадратичной формы от переменных у₁, у₂ будет иметь вид B=C^T∙A∙C= и квадратичная форма примет более простой вид L(y) = 32 y₁y₂.

Дата добавления: 2014-01-03