Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных





Понятие квадратичной формы

Лекция 14. Квадратичные формы

14.1. Понятие квадратичной формы. Матрица квадратичной формы

14.2. Поведение квадратичной формы при линейном преобразовании переменных

14.3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду

14.4. Свойства канонических форм. Критерий Сильвестра

Определение. Квадратичной формой от n переменных х1, х2,… хn называется однородный многочлен второй степени от этих переменных

f(х1, х2,… хn ) =

= +

+

+

где некоторые числовые коэффициенты. Составим матрицу квадратичной формы: А= . Заметим, что коэффициенты при произведениях и равны между собой: = , следовательно, матрица квадратичной формы симметричная А=АТ.

Если коэффициенты квадратичной формы - вещественные числа, то квадратичная форма называется вещественной.

Пример 1. Квадратичная форма от двух переменных

f(х1, х2) =

Пример 2. Квадратичная форма от трех переменных f(х1, х2, х3 ) = + + + .

Представим квадратичную форму в матричном виде:

обозначим Х= XT=( , тогда

f(х1, х2,… хn ) =(

и f(х1, х2,… хn ) = XT∙А∙Х .

Пример 3. Написать матрицу квадратичной формы

1) f(х1, х2, х3 )=

2) f(х1, х2, х3 )= + 4

Решение. 1) А= , 2) А= .

Определение 1. Если некоторые величины выражаются линейно и однородно через величины , т.е.

(1)

или сокращенно j=1, 2,…, n, где - произвольные числа, то такое преобразование называется линейным.

Составим матрицы Х= , С= , y= , тогда линейное преобразование можно записать в матричной форме: Х = С∙ У, где С- матрица линейного преобразования.

Определение 2. Линейное преобразование (1) переменных называется неособенным, если его матрица С неособенная (det C .

Если линейное преобразование с матрицей С неособенное, то существует обратная матрица С-1 и преобразование У=С-1∙Х называется обратным преобразованием переменных.

Определение 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы линейного преобразования называются собственными значениями и собственными векторами линейного преобразования.



Выясним, что произойдет с квадратичной формой при неособенном линейном преобразовании переменных Х = С∙ У, в этом случае мы получим квадратичную форму от переменных и квадратичная форма поменяет свою матрицу.

Теорема 1. Если в квадратичной форме с матрицей А сделано неособенное линейное преобразование переменных Х = С∙ У, то новая квадратичная форма имеет матрицу В = СТ∙А∙С.

Доказательство.

f(X)=f(х1, х2,… хn ) = XT∙А∙Х. Если Х = С∙ У, тогда квадратичная форма в матричном виде (С∙У)Т∙А∙(С∙У)= УТ∙СТ∙А∙С∙У= УТ∙(СТ∙А∙С)∙У и новая квадратичная форма от переменных L (y) =L( )= УТ∙(СТ∙А∙С)∙У имеет матрицу В = СТ∙А∙С, что и т.д.

Замечание. В некоторых задачах бывает удобнее ввести обратное линейное преобразование в виде У=С-1∙Х , и если квадратичная форма L (y) имеет матрицу В, то L (y) = (С-1∙Х )TB С-1∙Х = ХT ((С-1)ТB С-1)∙Х и матрица квадратичной формы от переменных х1, х2,… хn А= (С-1)ТB С-1.

Пример 1. Как изменится матрица квадратичной формы f(x)= - при линейном преобразовании векторов х1=3у1-2у2, х21+2у2 ?

Решение. Матрица заданной квадратичной формы равна А = , а матрица С линейного оператора при линейном преобразовании переменных С= Под действием линейного оператора матрица новой квадратичной формы от переменных у1, у2 будет иметь вид B=CT∙A∙C= и квадратичная форма примет более простой вид L(y) = 32 y1y2.

 





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 408; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.002 сек.