Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Приведение квадратичной формы к каноническому виду





В линейной алгебре часто возникает необходимость приведения квадратичной формы к наиболее простому виду. В разобранном выше примере квадратичная форма стала проще( одно слагаемое вместо трех), в общем случае наиболее простым видом является диагональный вид квадратичной формы.

Определение1. Квадратичная форма называется канонической или диагональной, если все коэффициенты при произведениях различных переменных равны нулю, т.е. =0 при

f(X)=f(х1, х2,… хn ) =

Матрица канонической квадратичной формы является диагональной

А = .

Теорема 1. (Теорема Лагранжа о приведении квадратичной формы к каноническому виду) Любая квадратичная форма с помощью неособенного линейного преобразования переменных может быть приведена к каноническому виду.

Теорема 2. (Закон инерции квадратичных форм) Если вещественная квадратичная форма вещественными неособенными преобразованиями переменных приведена двумя способами к диагональному виду, то в обоих случаях число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах новых переменных одно и то же.

Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

Определение 2. Квадратная матрица называется ортогональной, если сумма квадратов элементов любого столбца равна единице, а сумма произведений соответствующих элементов любых двух столбцов равна нулю.

Для ортогональной матрицы Р обратная к ней совпадает с транспонированной к матрице Р: Р-1Т.

Определение 3. Линейное преобразование переменных называется ортогональным, если его матрица ортогональная.

Теорема 4. Каждая вещественная квадратичная форма f(х1, х2,… хn ) с матрицей А при помощи некоторого ортогонального преобразования переменных Х = Р∙ У может быть приведена к диагональному виду

L( )= λ1 λ2 λn

Коэффициенты λ1 , λ2 , … , λn при квадратах новых переменных с точностью до порядка расположения определены формой f(х1, х2,…, хn) однозначно, они совпадают с корнями характеристического многочлена det(A- λE)=0. Столбцы Т1 , Т2 , …, Тn ортогональной матрицы Р являются единичными собственными векторами матрицы А, соответствующими собственным числам λ1 , λ2 , … , λn .



Замечания

1) Коэффициенты λ1 , λ2 , … , λn при квадратах новых переменных являются собственными значениями матрицы А квадратичной формы f(х1, х2,…, хn).

2) Характеристический многочлен симметричной матрицы с действительными элементами имеет только действительные корни.

3)Собственные векторы симметричной матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пример 1. Квадратичную форму f(x,y) =x2+y2+3xy привести к каноническому виду.

Решение. Для матрицы квадратичной формы А= составим характеристическое уравнение det(А-λЕ)= или и найдем его корни: λ1= -1/2, λ2= 5/2. Составим новую каноническую квадратичную форму L(

Пример 2. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка 15х2 - 2 используя теорию квадратичных форм.

Решение. Составим квадратичную форму f(x,y)= 15х2 - 2 с матрицей А= и найдем корни характеристического уравнения det(А - λЕ) = или λ2-24λ+80=0, корни

λ1= 20, λ2= 4. Составим новую квадратичную форму L(

Уравнение кривой имеет вид или =1, получили каноническое уравнение эллипса.

Пример 3.Квадратичную форму f(х1, х2, х3) = + 2 привести к диагональному виду.

Решение. Вектор х задан в некотором ортонормированном базисе своими ко­ординатами х = (х1, х2, х3). Введем симметричный оператор Р (х), матрицу которого положим равной матрице квадратичной формы

.

Составим характеристическое уравнение

=-3λ23 = 0.

Корни уравнения λ1= -3, λ2,3 = 0 . В новом ортонормированном базисе, составленном из собственных векторов матрицы, вектор х имеет координаты х = (у1, у2, у3) . Поэтому f(х)=

Замечание. Канонический вид квадратичной формы не является однозначно определенным. Например, заданную квадратичную форму легко преобразовать без использования симметричного оператора:

f(х1, х2, х3) = + 2 =- - 2 )=-(х123)2.

Линейное преобразование х123 приводит квадратичную форму к каноническому виду f(х)= - Однако в этом случае вектор х = ( уже не является разложенным по ортонормированному базису, составленному из собственных векторов матрицы.

Пример 4. Квадратичную форму f(х) = привести к каноническому виду и выписать ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду.

Решение. Матрица квадратичной формы . Составим характеристическое уравнение = - λ3 +18λ2-99λ+162=0, корнями которого являются числа λ1=3, λ2=6, λ3=9 – собственные значения матрицы квадратичной формы, а соответствующие им собственные векторы имеют вид

Х(1)= Х(2)= Х(3)=

Собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

1) Канонический вид квадратичной формы:

L( )= 3 6 9

2) Ортогональное преобразование, приводящее квадратичную форму к каноническому виду представлено ортогональной матрицей, столбцы которой являются соответствующими единичными собственными векторами матрицы А квадратичной формы Р= , при этом РТ∙А∙Р=





Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1130; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.004 сек.