Студопедия

КАТЕГОРИИ:



Мы поможем в написании ваших работ!

Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Мы поможем в написании ваших работ!

Свойства канонических форм. Знакоопределенность


Канонические формы, полученные разными способами, обладают некоторыми общими свойствами.

1) Закон инерции: число положительных, отрицательных и нулевых коэффициентов при квадратах переменных в канонической форме не зависит от способа приведения квадратичной формы к этому виду.

2) Свойство ранга: ранг матрицы квадратичной формы равен числу отличных от нуля коэффициентов канонической формы и не изменяется при линейных преобразованиях.

Определение1. Квадратичная форма f(x) называется положи­тельно (отрицательно) определенной, если для любого не­нулевого вектора x ≠ 0 выполняется неравенство f(x) > 0 ( f(x) 0 ).

Определение 2. Квадратичная форма f(x) называется положительно (отрицательно ) полуопределенной, если для любого ненулевого вектора

x ≠ 0 выполняется неравенство f(x) 0 ( f(x) 0 ).

Определение 3.Миноры, примыкающие к левому верхнему углу матрицы, называются угловыми. Например, матрица третьего порядка имеет угловые миноры

М1=а11, М2= . М3= .

Определение 4. Миноры, имеющие своей диагональю главную диагональ матрицы, называются главными. Приведем эквивалентное определение: главными называются миноры, расположенные в строках и столбцах с одинаковыми номерами. У матрицы третьего порядка семь таких миноров:

три главных минора первого порядка а11 , а22 , а33 ;

три главных минора второго порядка ;

один главный минор третьего порядка .

 

Теорема 1. (Об определении знака квадратичной формы по собственным числам) Для того чтобы квадратичная форма была положительно (отрицательно) определенной, необходимо и достаточно, чтобы все собственные числа матрицы квадратичной формы были положительными (отрицательными).

При исследовании знака квадратичной формы иногда более удобно применять критерий английского математика, профессора Оксфордского университета Джеймса Джозефа Сильвестра (1814-1897).

Теорема 2. (Критерий Сильвестра об определении знака квадратичной формы по угловым минорам).

Для того чтобы квадратичная форма с матрицей была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все её угловые миноры



М1=а11, М2= . …, Мn=

были положительны.

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы её угловые миноры чередовали знаки, начиная с отрицательного.

Из четырех сформулированных в критерии утверждений докажем два наиболее важные для практического применения.

1) Если все угловые миноры положительны, квадратичная форма положительно определена.

Представим квадратичную форму в каноническом виде

f( )= λ1 λ2 λn

Ее матрица имеет вид

А =

Угловые миноры равны М1=

М2=

…………………..

Мn= .

Поскольку все миноры положительны, то , но тогда

f(х)

2) Если миноры чередуют знаки, начиная с отрицательного, квадратичная форма отрицательно определена.

Из соотношения М1= и М1 следует, что , из того, что М2= вытекает, что и т.д. Таким образом, все собственные значения отрицательны: .

Если для исследования знакоопределенности квадратичной формы используются угловые миноры, то для изучения полуопределенности применяются главные миноры матрицы квадратичной формы.

 

Приведем таблицу оценки знакоопределенности квадратичной формы.

Название формы Обозна- чение Оценка знакоопределенности формы
По минорам матрицы А По собственным значениям матрицы А
Положительно определенная f(x) Все угловые миноры положительны: Мк Все собственные значения положительные
Отрицательно определенная f(x) В угловых минорах чередуются знаки: (-1)к Мк Все собственные значения отрицательны
Положительно полуопределенная f(x) Все главные миноры неотрицательны:   Все собственные значения неотрицательные
Отрицательно полуопределенная f(x) В главных минорах чередуются знаки     Все собственные значения неположительные
Неопределенная f(x)     Собственные значения имеют разные знаки
Равная нулю f(x)=0   Все собственные значения равны нулю

Пример. Квадратичную форму f(х) =

исследовать на знакоопределенность.

Решение. 1-й способ. Составим характеристическое уравнение для матрицы квадратичной формы

= - λ3 +16λ2-58λ+15=0.

Решив уравнение третьей степени, получим = 5, .

Собственные числа матрицы положительны, квадратичная форма является положительно определенной.

2-й способ. Найдем угловые миноры матрицы квадратичной формы :

М1= 7, М2= М3 =

Все угловые миноры положительны. По критерию Сильвестра имеем знакоположительную квадратичную форму.

3-й способ. Приведем квадратичную форму к каноническому виду с помощью алгебраических преобразований:

f(х) = =( .

Выражение представляет собой сумму квадратов и обращается в нуль только при х1 = х2 = х3 = 0. Тем самым для любого ненулевого вектора х выполняется неравенство f(x) Квадратичная форма положительно определенная.

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Приведение квадратичной формы к каноническому виду | Понятие структуры

Дата добавления: 2014-01-03; Просмотров: 1523; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:
studopedia.su - Студопедия (2013 - 2021) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление
Генерация страницы за: 0.003 сек.