Заявка принимается до 11 января 2017 года

Завдання № 10.

Приклади.

Частина 2.

Завдання № 5.

Завдання № 4.

Завдання № 3.

Приклад 2.

Приклад 1.

Приклад 2.

Приклад 1.

Приклади.

Частина 1

Завдання № 1. Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

а) методом Крамера;

б) методом матричного числення;

в) методом Гауса.

Дана система трьох лінійних алгебраїчних рівнянь с трьома невідомими:

Потрібно:

а) знайти рішення системи за допомогою формул Крамера;

б) розв’язати систему за допомогою оберненої матриці.

а)при розв’язанні систем n лінійних рівнянь з n невідомими

;

;

…

можна застосовувати формули Крамера , де - визначник системи з коефіцієнтів при невідомих , а - визначник, який отримується з заміною елементів j –го стовпця елементами стовпця вільних членів стосовно.

Розв’яжемо систему за допомогою формул Крамера. Для цього складемо головний визначник системи з коефіцієнтів при невідомих у лівих частинах рівнянь та три допоміжних визначника:

Обчислимо ці визначники:

Так як ∆ ≠ 0, то дана система має єдине рішення.

Знайдемо рішення системи по формулам Крамера:

б) Запишемо систему у матричному вигляді:

, або AX = B, де

(у другому рівнянні системи відсутня невідома х ₃, тому а ₂₃ = 0).

Розв’яжемо систему за допомогою оберненої матриці.

1. Визначник тоді обернена матриця існує.

2. Щоб знайти союзну матрицю А ^* до матриці А, необхідно обчислити алгебраїчні доповнення всіх її елементів:

Тоді союзна матриця:

3. Знайдемо обернену матрицю:

4. Отримаємо рішення системи за допомогою оберненої матриці (правило «строка на стовпець»):

.

Рішення, яке отримано матричним способом, співпадає с тим, яке отримано по формулам Крамера, що підтверджує правильність цього рішення.

Відповідь:

а) рішення системи по формулам Крамера: ;

б) рішення системи за допомогою оберненої матриці: .

Розв'язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гауса (послідовного видалення невідомих).

а) випишемо розширену матрицю цієї системи.

б) зведемо матрицю D до «трикутного» виду, з котрого зможемо знайти рішення системи.

Для цього зробимо над строками матриці D елементарні перетворення. До ним відносяться:

- зміна порядку строк (відповідно зміні порядку рівнянь);

- множення строки на відмінне від нуля число (відповідно множенню відповідних рівнянь на це число);

- додання до будь-якої строки матриці D будь-якої іншої її строки, яка помножена на число (відповідає доданню до одного з рівнянь системи другого рівняння, помноженого на число).

Таким чином, у процесі приведення матриці системи до «трикутного» виду виконаємо наступні перетворення:

1) віднімемо з другої строки першу строку, помножену на 5;

2) до третьої строки додамо першу строку, помножену на 3;

3) першу строку залишимо без зміни.

Помножимо другу строку на .

Віднімемо з третьої строки другу і тим самим приведемо розширену матрицю до «трикутного» виду.

Це розширена матриця системи,

яка еквівалентна початковій системі.

Підставляємо значення у друге рівняння, знаходимо :

Підставляємо значення и у перше рівняння, знаходимо :

Відповідь: , , .

Завдання № 2. За допомогою теореми Кронекера-Капелі дослідити на сумісність систему рівнянь. У випадку додатної відповіді знайти загальне та яке-небудь часткове рішення системи.

Розв’язання.

Відповідь: система несумісна.

Розв’язання.

Відповідь: загальний розв’язок системи: ;

частковий розв’язок системи: .

Приклад. Дано координати трьох векторів: і вектор :

, .

Потрібно:

1) обчислити модуль вектора ;

2) знайти координати вектора ;

3) знайти кут φ між векторами и ;

4) обчислити проекцію вектора на напрямок вектора ;

5) обчислити площу трикутника, побудованого на векторах і ;

6) обчислити об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах .

Розв’язання.

1) Знайдемо модуль вектора :

.

2) Знайдемо координати вектора :

тоді

3) Знайдемо косинус кута між векторами и :

.

Для цього обчислимо скалярний добуток и за формулою: = –2∙0 + 2∙(–3) + (–1)∙4 = –10, потім модуль вектора : , тоді і

4) Проекцію вектора на напрямок вектора обчислимо за формулою:

5) Знайдемо площу трикутника, побудованого на векторах і . Для цього спочатку знаходимо векторний добуток цих векторів:

Отже, площа трикутника, побудованого на векторах і :

(кв.од.).

6) Для обчислення об'єму паралелепіпеду, побудованого на векторах знаходимо мішаний добуток цих векторів:

тоді об'єм паралелепіпеду: .

Відповіді:

1) модуль вектора :

2) координати вектора :

3) кут між векторами и :

4) проекція вектора на напрямок вектора :

5) площа трикутника, побудованого на векторах і : (кв.од.);

6) об'єм паралелепіпеду, побудованого на векторах: (куб.од.).

Приклад. Дано координати точок – вершин піраміди ABCD:

.

Треба:

1) обчислити довжину ребра AB;

2) знайти рівняння площини грані ABC;

3) найти кут між гранями ABC та BCD;

4) скласти параметричні рівняння прямої AB;

5) скласти канонічне рівняння висоти піраміди DK, яка проведена з вершини D;

6) знайти координати точки перетину прямої DK та грані ABC;

7) знайти кут між ребрами AB та BC;

8) знайти кут між ребром AD та гранню ABC;

9) зробити креслення піраміди в системі координат.

Розв’язання.

1) Знайдемо довжину ребра :

2) Щоб получити рівняння площини грані ABC, необхідно знайти вектор, який перпендикулярний площині ABC, тобто вектор, що перпендикулярний векторам и . Одним з таких векторів є векторний добуток на . Для того, щоб знайти його, спочатку обчислимо координати векторів:

={–3–(–2); 2–1; –1–1} = {–1; 1; –2},

={7; –3; –3}.

Знайдемо векторний добуток векторів та :

У якості вектора нормалі до площини ABC можливо взяти любий вектор, який колінеарний отриманому, наприклад, = (9; 17; 4). Використовуємо рівняння площини, яка проходить через точку перпендикулярно вектору :

– рівняння площини грані ABC.

3) Перед, тим як знайти кут між гранями ABC та BCD, отримаємо рівняння грані BCD. Для цього застосовуємо рівняння площини, яка проходить через три задані точки :

– рівняння грані BCD.

З рівняння площини BCD візьмемо координати вектора нормалі , перпендикулярного до цієї площини: ={3; 7; –4}.

Знайдемо косинус кута між площинами (гранями) ABC та BCD:

Звідси .

4) Рівняння ребра AB можна записати як параметричні рівняння прямої, яка проходить через точку A (–2;1;1) та має напрямний вектор = (–1; 1; –2):

– параметричні рівняння прямої AB.

Другий спосіб: можна використати рівняння прямої, яка проходить через дві точки :

звідки, якщо позначити кожну з дробів буквою t, отримаємо:

– параметричні рівняння AB.

5) Висота піраміди DK – це пряма, яка проведена з вершини D перпендикулярно грані ABC. Вона має напрямний вектор , колінеарний вектору нормалі площини ABC. Можна взяти, наприклад, = = {9; 17; 4}. Запишемо канонічне рівняння висоти DK з використанням точки D (–1; 0; –3) та вектора =(9; 17; 4):

– канонічне рівняння прямої DK.

6) Перед тим, як знайти точку перетину прямої DK та грані ABC, отримаємо параметричні рівняння прямої DK. Позначимо кожну з дробів у канонічному рівнянні буквою t, отримаємо:

– параметричні рівняння прямої DK.

Точка перетину DK та грані ABC (точка К) лежить на прямій, а значить, має координати , та належить площині, тобто її координати задовольняють рівнянню площини ABC. Тому координати точки K знайдемо, розв’язуючи систему:

Розв’яжемо останнє рівняння відносно t:

Обчислимо координати точки K, для чого підставимо знайдене значенняпараметра t у перші три рівняння системи:

Так, точка перетину прямої DK і грані ABC: .

7) Кут між ребрами AB і BC знайдемо, як кут між напрямними векторами прямих AB и BC: = (–1; 1; –2) та =(8; –4; –1). Обчислимо косинус кута :

Тоді кут між ребрами AB і BC:

8) Щоб визначити кут між ребром AD та гранню ABC,

знайдемо напрямний вектор прямої: =(1; –1; –4). Площина ABC має вектор нормалі = (9; 17; 4). Синус кута між прямою та площиною ABC можна обчислити:

Тоді кут між ребром AD та гранню ABC:

9) Виконаємо креслення піраміди у системі координат (рис.).

Відповіді:

1)

2) АВС:

3) ;

4)

5) DK: ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) креслення піраміди на рис.

Приклад. Дано координати вершин трикутника АВС: А (–3; –1), В (4; 6), С (8; –2).

Потрібно:

1) Обчислити довжину сторони ВС;

2) скласти рівняння сторони ВС;

3) знайти внутрішній кут трикутника при вершині В;

4) скласти рівняння висоти АК, яка проведена з вершини А;

5) знайти координати центра тяжіння однорідного трикутника (точки перетину його медіан);

6) зробити креслення у системі координат.

Розв’язання.

1) Обчислимо довжину сторони ВС за формулою:

| BС |= =

2) Складемо рівняння сторони ВС, застосовуючи формулу:

y = –2 x + 14 – рівняння ВС.

3) Внутрішній кут трикутника при вершині В знайдемо як кут між прямими ВА і ВС. Для цього спочатку обчислимо кутовий коефіцієнт прямої ВА за формулою:

та візьмемо з рівняння прямої ВС кутовий коефіцієнт прямої ВС: .

З розташування точок A, B, C на координатній площині видно, що кут В у трикутнику ABC – гострий, тому обчислимо

.

4) Для отримання рівняння висоти АK, проведеної з вершини А, застосовуємо рівняння пучка прямих та умову перпендикулярності прямих. Спочатку обчислимо кутовий коефіцієнт прямої АK. Так як , то .

Рівняння прямої AK отримаємо за формулою:

у – у_А = k_AK (x – x _A) у – (–1) = (x – (–3))

x –2 y + 1 = 0 – рівняння AK.

5) Для визначення координат центра тяжіння трикутника застосовуємо властивість точки перетину його медіан: якщо AМ – медіана трикутника і P – точка перетину його медіан, то P розподіляє AМ у відношенні 2: 1, починаючи від точки А, тобто .

Основа медіани AМ – точка М є серединою відрізка ВС. Знайдемо координати точки М за формулами:

М (6; 2).

Тепер, коли координати кінців відрізка AМ відомі, знайдемо координати точки P, яка розподіляє AМ у відношенні = 2, починаючи від точки А, за формулами ділення відрізка у заданому відношенні:

P (3; 1) – центр тяжіння трикутника АВС.

6) Побудуємо креслення до прикладу у системі координат ХОY (рис.). Отримані при рішенні задачі результати не суперечать кресленню.

Відповіді:

1) довжина сторони | BС | = ;

2) рівняння сторони ВС: y = –2 x + 14;

3) кут при вершині В: ;

4) рівняння висоти АK: x –2 y + 1 = 0;

5) координати центра тяжінн трикутника P (3; 1);

6) креслення на рис.

Завдання № 6. Обчислити границі функцій без використання правила Лопіталя:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Розв’язання.

а) підстановка граничного значення аргументу приводе до невизначеності виду .

Для усунення цієї невизначеності розкладемо чисельник та знаменник дробу на множники та скоротимо дріб на множник . Таке скорочення можливо, так як множник відмінний від нуля при :

б) при вираз дає невизначеність виду . Для її усунення помножимо та поділимо цей вираз на :

в) позначимо . Тоді та при . Застосовуємо властивості границь та формулу першої визначної границі , маємо:

г) при вираз є невизначеністю виду . Для усунення цієї невизначеності зобразимо основу степені у вигляді суми 1 та нескінченно малої при величини і застосуємо формулу другої визначної границі:

.

Тоді маємо:

.

Нехай . Тоді і при . Перейдемо до змінної у, отримаємо:

.

Завдання № 7. Обчислити границі функцій з використанням правила Лопіталя.

Знайти: .

Розв’язання.

=[Застосовуємо правило Лопіталя: ]= .

Завдання № 8. Знайти похідні даних функцій.

а) ; б) ; в) ;

г) .

Розв’язання.

а) послідовно застосовуючи правило диференціювання складної функції, правила та формули диференціювання, маємо:

б)

в) у даному випадку функціональна залежність задана у неявному вигляді. Для знаходження похідної треба продиференціювати по змінній х обидві части рівняння, вважаючи при цьому у функцією від х, а потім отримане рівняння вирішити відносно :

З останнього рівняння знаходимо :

г)

.

Завдання № 9. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік.

Приклад 1. Побудувати графік функції

Розв’язання.

1) Область визначення функції f:

Х= .

2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.

3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.

4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.

5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну

;

х =0–критична точка.

Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х =0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення:

.

6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:

.

На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.

Точки перегину відсутні.

7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.

Дослідимо поведінку функції біля точок х =2, х =-2:

, .

Отже, в точці х =2 функція має розрив другого роду, а пряма х =2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х =-2 також є вертикальною асимптотою.

.

Приклад 1. Знайти частинні похідні функції .

Розв’язання.

Знайдемо при умові, що , а, як слід, і її похідна .

.

( як винесли за знак похідної).

Знайдемо , враховуючи, що , а, як слід, і похідна , тоді

.

Приклад 1. Дана функція . Знайти всі її частинні похідні 2-го порядку і переконатися, що .

Розв’язання.

; ;

;

;

;

.

З останніх рівностей бачимо, що .

Завдання № 11. Знайти екстремум функції .

Розв’язання.

Знаходимо стаціонарні точки.

Рішення останньої системи дає 4 стаціонарні точки:

.

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

Досліджуємо кожну стаціонарну точку.

1) у точці Так як і , то у цієї точці функція має мінімум.

2) у точці Так як і , то у цієї точці функція має максимум.

3) у точці Так як , то у цієї точці функція екстремума не має.

4) у точці Так як , то у цієї точці функція екстремума не має.

Рекомендована література

1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с.

2. Щипачев, В.С. Высшая математика: учебник для вузов / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 1998.– 479 с.

3. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1 / П. Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова.– М.: Высш. шк., 1999.– 304 с.

4. Щипачев, В.С. Задачник по высшей математике / В.С. Щипачев.– М.: Высш. шк., 2001.– 304 с.

по электронной почте: [e-mail].

Дата добавления: 2017-01-14