Вызов шаблона вектора и его ввод 2 страница

1.2.10. ЗАДАНИЕ 10

Решить задачу номер n.

1. На прямой 2x + y + 11 = 0 найти точку, равноудалённую от двух данных точек A(1;1), B(3,0).

2. Найти координаты точки, симметричной точке (2,-4) относительно прямой 4x + 3y + 1 = 0.

3. Найти уравнение диагонали параллелограмма, проходящей через точку пересечения его сторон x + y - 1 = 0 и y + 1 = 0, если известно, что диагонали параллелограмма пересекаются в точке P(-1;0).

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(2;6) и образующей с осями координат треугольник, который находится во второй четверти и имеет площадь 3 кв.ед.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(-1,2) так, что середина её отрезка, заключённого между парал- лельными прямыми x + 2y + 1 = 0 и x + 2y - 3 = 0 лежит на прямой x - y - 6 = 0.

6. Даны уравнения двух сторон треугольника 4x - 5y + 9 = 0 и x + 4y - 3 = 0. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке (3;1).

7. Вычислить координаты вершин ромба, если известны уравнения двух его сторон 2x - y + 4 = 0 и 2x - y + 10 = 0 и уравнение одной из его диагоналей x + y + 2 = 0.

8. Составить уравнения сторон треугольника, если точки A(-5;5), B(3;1) - две его вершины, а D(2;5) - точка пересечения его высот.

9. Дано уравнение одной из сторон квадрата x + 3y - 7 = 0 и точка пересечения его диагоналей P(0;-1). Найти уравнения трех остальных сторон этого квадрата.

10. Даны уравнения одной из сторон ромба x - 3y + 10 = 0 и одной

из его диагоналей x + 4y - 4 =0. Диагонали ромба пересекаются

в точке P(0;1). Найти уравнения трех остальных сторон ромба.

11. Уравнения двух сторон параллелограмма x + 2y + 2 = 0 и

x + y - 4 = 0, а уравнение одной из его диагоналей x - 2 = 0.

Найти координаты вершин.

12. Даны вершины A(-3;-2) и B(8;-4) трапеции ABCD (AD || BC).

Известно, что диагонали трапеции pавны и точка пеpесечения

диагоналей О(0,2). Найти координаты вершин C и D этой

трапеции.

13. Даны вершины A(2;-2) и B(3;-1) и точка P(1;0) пересечения

медиан треугольника. Составить уравнение высоты треуголь-

ника, проведенной через третью вершину C.

14. Даны уравнения двух высот треугольника 3x + 2y - 34 = 0 и

x + y - 1 = 0 и одна из вершин A(6;5). Составить уравнения

сторон.

15. Даны уравнения медиан 2x - 11y + 28 = 0, 5x + 7y - 22 = 0 и

одна из вершин (-2;-2) треугольника. Составить уравнения

сторон.

16. Две стороны треугольника заданы уравнениями 2x + y - 1 =0 и

x - 3y + 14 =0, а середина третьей стороны совпадает с нача-

лом координат. Составить уравнение третьей стороны.

17. Даны уравнения сторон треугольника: (AB) 7x - 2y + 32 = 0;

(AC) x +y + 2 = 0; (BC) 4x + y - 1 = 0. Найти точку пересечения

его высот.

18. Составьте уравнения катетов прямоугольного равнобедренно-

го треугольника, если уравнение гипотенузы 3x - y + 11 = 0 и

C(4;3) - вершина прямого угла.

19. В равнобедренном треугольнике известны: уравнение основа-

ния 5x + 3y - 53 = 0, уравнение одной из боковых сторон

x + 4y - 14 = 0 и точка на второй боковой стороне (3;7).

Найдите уравнение второй боковой стороны.

20. Одна из сторон квадрата лежит на прямой x - 5y + 32 = 0, а

одна из вершин находится в точке (2;1). Найдите уравнения

остальных сторон квадрата.

21. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно, что

четвертой стороной является отрезок прямой 4x - 7y + 28 = 0,

концы которого лежат на осях координат.

22. Точки K (1;3) и L (-1;1) являются серединами оснований

равнобедренной трапеции, а точки P (3;0) и Q (-3;5) лежат на

её боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.

23. Даны стороны треугольника: (AC) 2x - 15y - 55 = 0;

(AB) 4x - 3y + 25 = 0; (BC) 14x + 3y - 61 = 0. Составить

уравнение прямой, проходящей через вершину C и через

точку на стороне AB, делящую ее (считая от вершины А)

в отношении 1:4.

24. Точки B(7;1) и D(9;-3) являются противоположными

вершинами квадрата. Определить координаты двух других

вершин.

25. В треугольнике известны уравнения высоты x + y - 3 = 0 и

медианы 11x - 4y + 10 = 0, проведенных из различных вершин.

Написать уравнения сторон тpеугольника, зная одну его

вершину (8;9).

26. Написать уравнение сторон треугольника, зная одну его вер-

шину (6;3), уравнения высоты 11x - 9y + 75 = 0 и биссектрисы

11x - 13y + 79 = 0, проведенных из одной вершины.

27. Точка A (2;0) является вершиной правильного треугольника, а

противолежащая ей сторона лежит на прямой x + y -1 = 0.

Составить уравнения двух других сторон.

28. Длина стороны ромба с острым углом 60 равна 2. Диагонали

ромба пересекаются в точке M(1;2), причем большая

диагональ параллельна оси абсцисс. Составить уравнение

сторон ромба.

29. Точка A(1;2) является серединой одного из оснований

прямоугольной трапеции, а точка B(3;-1) - серединой средней

линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям,

лежит на прямой 4x - 3y + 10 = 0. Составить уравнения

остальных сторон трапеции.

30. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину (9;2), уравнения биссектрисы x + y - 5 = 0 и

медианы x - y = 0, проведенных из различных вершин.

31. Даны координаты двух вершин треугольника A(-1;3), B (2;5) и

ортоцентр - точка H(1;4). Найти координаты третьей вершины

треугольника. (Ортоцентром треугольника называется точка

пересечения его высот).

32. Точка H(-3;2) является точкой пересечения высот треугольни-

ка, две стороны которого лежат на прямых 2x - y = 0 и

x + y - 3 =0. Составить уравнение третьей стороны.

33. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей

через точку A(-1;3) и касающейся прямых 7x + y = 0 и

x - y + 8 = 0.

34. Окружность проходит через точки M(1;0) и N(2;1). Найдите

центр этой окружности, если известно, что он лежит на

прямой 5x - y - 4 = 0.

35. Точки B(1;2) и C(3;-6) симметричны относительно некоторой

прямой. Составить уравнение этой прямой.

36. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке K(-2;4).

Составить уравнение диагонали, не проходящей через точку

пересечения сторон 4x - y + 4 = 0 и 4x + 3y + 20 = 0.

37. Площадь прямоугольного треугольника, катетами которого

являются оси координат, равна 8. Составить уравнение гипоте-

нузы, если известно, что она проходит через точку A (-4;8).

38. Составить уравнение прямой L₁, параллельной прямой L₂ :

2x + 3y - 23 = 0, если середина отрезка прямой L₃: 5x+2y+3 = 0,

заключенного между параллельными прямыми L₁ и L₂ лежит

на прямой L₄: 6x - y + 24 = 0.

39. Составить уравнение стороны треугольника, в котором

известны точка пересечения медиан (-1;7) и уравнения двух

других сторон x + 4y - 37 = 0, 2x - y + 16 = 0.

40. Даны две стоpоны x - y + 6 = 0 и x - y + 10 = 0 и диагональ

3x + y - 10 = 0 pомба. Найти вершины ромба.

41. В треугольнике известны две вершины A(-2;9), В(2;-3) и точка

пересечения высот O(2;7). Написать уравнения сторон.

42. Точка A(3;-2) является вершиной квадрата, а точка M(1;1) -

точкой пересечения его диагоналей. Составить уравнения

сторон квадрата.

43. Даны уравнения одной из сторон ромба x + y - 39 = 0 и одной

из его диагоналей x - 3y + 11 = 0. Найти уравнения остальных

сторон ромба, если его центр - точка N(-2;3).

44. Найти координаты вершин параллелограмма, в котором

известны две стороны 2x - 5y - 5 = 0 и 2x + 5y - 15 = 0 и

диагональ 6x + 5y - 35 = 0.

45. Найти координаты точек C и D четырехугольника ABCD, в

котором отрезки AB и DC параллельны, BD и AC перпенди-

кулярны друг другу и заданы веpшины A(9;-1), B(5;5).

46. Даны две вершины (3;-1), (1;4) и центр тяжести (0;2) тре-

угольника. Найти координаты третьей вершины треугольника

и составить уравнения его сторон.

47. Даны уравнения двух высот треугольника 3x + 4y - 23 = 0 и

12x - 5y - 24 = 0 и одна из его вершин (1;1). Составить уравне-

ния сторон.

48. Написать уравнения сторон треугольника, две медианы

которого лежат на прямых x + y - 3 = 0 и 2x + 3y - 1 = 0,

а точка A(1;1) является вершиной треугольника.

49. Две стороны треугольника заданы уравнениями, x +3y - 21 = 0

и 7x + y + 13 = 0, а середина третьей стороны - точка (2;3).

Составить уравнение третьей стороны.

50. Даны уравнения сторон треугольника:(MN) 3x - 5y + 17 = 0,

(NP) 8x + 6y - 32 = 0, (MP) 5x + 11y + 9 = 0. Найти ортоцентр

треугольника. (Ортоцентром треугольника называется точка

пересечения его высот).

51. Гипотенуза прямоугольного треугольника лежит на прямой

2x + у - 2 = 0, а точка C(3;-1) является вершиной прямого угла.

Площадь треугольника равна 9/4. Составить уравнения

прямых, на которых лежат катеты.

52. Основание равнобедренного треугольника лежит на прямой

x +2y - 2 = 0, а одна из боковых сторон - на прямой y +2x -1= 0.

Составить уравнение другой боковой стороны треугольника,

зная, что её расстояние от точки пересечения данных прямых

равно .

53. Составить уравнения сторон квадрата, в котором одна из вер-

шин- точка (8;7) и одна из сторон лежит на прямой 5x+2у+4=0.

54. Составить уравнения трех сторон квадрата, если известно,

что четвертой стороной является отрезок прямой 2x + y - 8 = 0,

концы которого лежат на окружности (x - 3)² + y² = 4.

55. Точки M(3;7) и N(2;3) являются серединами оснований

равнобедренной трапеции. Точки K(1;7) и P(4;6,5) лежат на её

боковых сторонах. Составить уравнения сторон трапеции.

56. Даны стороны треугольника: (AB) 4x + 3y - 10 =0;

(BC) 3x + 2y - 8 = 0; (AC) 8x + 5y - 18 = 0. Составить уравне-

ние прямой, проходящей через точку C и делящей сторону АВ

в отношении 2:3 (считая от вершины A).

57. Противоположными вершинами квадрата являются точки

(-5;-3) и (3;17). Найти координаты двух других вершин.

58. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину (2;7), уравнения медианы 9x + y + 4 = 0 и высоты

x + 5y - 11 = 0, проведенных из различных вершин.

59. Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину (-5;4), уравнения высоты 6x + y - 61 = 0 и биссек-

трисы 4x - 3y + 7 = 0.

60. Точка M(6;4) является вершиной правильного треугольника, а

противолежащая ей сторона лежит на прямой 3x - y + 2 = 0.

Найти уpавнения остальных стоpон тpеугольника.

61. Длина стороны ромба с тупым углом 120° равна 6 . Мень-

шая диагональ параллельна биссектрисе 2 и 4 координатных

углов. Диагонали пересекаются в точке (-4;6). Составьте

уравнения сторон ромба.

62. Точка P(8;1) является серединой одного из оснований

прямоугольной трапеции, а точка N(2;3) - серединой средней

линии. Боковая сторона, перпендикулярная основаниям,

лежит на прямой 4x + 3y +1 = 0. Составить уравнения сторон.

63. Составьте уравнения трех сторон треугольника, в котором

медиана 3x + 2y - 6 =0 и биссектриса x - y = 0 проведены не из

вершины (4;0), а из двух других вершин.

64. Даны стороны треугольника: 4x - 3y + 26 = 0 (AB);

x + 2y + 1 = 0 (AC); 7x + 3y - 37 = 0 (BC). Найти точку

пересечения медианы, проведенной из вершины B и высоты,

проходящей через вершину C.

65. Найти радиус и координаты центра окружности, проходящей

через точку A(-1;8) и касающейся прямых x + 10 = 0 и

4x - 3y + 10 = 0.

66. Точка K отстоит на одинаковых расстояниях от точек P(7;8) и

Q(1;2). Найти координаты точки K, если известно, что она

лежит на прямой 4x - 5y + 27 = 0.

67. Найти координаты точки N, симметричной точке M относи-

тельно прямой x + y - 5 = 0. Точка M отстоит от прямой на

расстоянии вдвое большем, чем точка K(-2;7) и находится с

ней по одну сторону от прямой, пpичем отpезок KM

пеpпендикуляpен пpямой.

68. В параллелограмме две стороны заданы уравнениями

x - 5y + 7 = 0 и 5x - 3y - 9 = 0. Составить уравнение

диагонали параллелограмма, не проходящей через точку

пересечения этих сторон, если известно, что диагонали

пересекаются в точке M(2;4).

69. Найти координаты вершин треугольника, симметричного

треугольнику ABC относительно центра описанной около

треугольника ABC окружности, если A(9;-1), B(5;1), C(0;-5).

70. Составить уравнение прямой, перпендикулярной прямой

x + 3y - 13 = 0 и образующей с осями координат треугольник,

площадь которого равна 6.

71. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2)

так, что отрезок этой прямой, заключённый между прямыми

3x + y + 2 = 0 и 4x + y - 1 = 0, в точке A делится пополам.

72. Центр тяжести треугольника - точка (; ). Уравнения двух

его сторон 4x + y + 14 = 0 и x- 6y- 9= 0. Составить уравнение

третьей стороны.

73. Известны уравнения двух сторон ромба 7x - 9y - 39 = 0 и

3x + 11y - 91 = 0 и одной из его диагоналей 5x + y - 13 = 0.

Вычислить координаты вершин ромба.

74. Составить уравнение тpетьей стороны треугольника, если

известны уравнения двух его сторон 6x - y - 11 = 0 и

4x + 5y + 13 = 0 и ортоцентр - точка (-1;2).

75. Написать уравнения сторон квадрата, центр которого - точка

(1;-3), а одна из вершин - точка (-4;7).

76. Написать уравнения сторон ромба, если известны диагональ

x + y - 2 = 0, точка её пересечения с другой диагональю (0;2) и

одна из сторон 3x - y - 10 = 0.

77. Вычислить координаты вершин параллелограмма, в котором

две стороны лежат на прямых 2x - 5y - 5 = 0 и 2x + 5y - 15 = 0,

а одна из диагоналей на прямой 6x + 5y - 35 = 0.

78. Диагонали трапеции ABCD (AD||BC) перпендикулярны друг

другу и заданы веpшины A(4;-1) и B(13;6). Найти координаты

вершин C и D трапеции.

79. Составить уравнения сторон треугольника, в котором даны

две вершины (-7;6) и (7;4) и точка пересечения отрезков,

соединяющих эти вершины с серединами противоположных

сторон (;4).

80. Даны уравнения двух высот треугольника x - 5y + 16 = 0 и

9x + 7y + 14 = 0 и одна из его вершин M(-5;-3). Написать

уравнения сторон треугольника.

81. Даны уравнения двух медиан x - 3y + 2 = 0 и 2x + 2y - 21 = 0

тpеугольника и одна из вершин (5;-1). Найти уpавнения

стоpон тpеугольника.

82. Середина одной из сторон треугольника - точка (0;3). Две

другие стороны лежат на прямых x - 9y + 52 = 0 и x + y - 8 = 0.

Составить уравнение третьей стороны.

83. Найти точку пересечения высот треугольника, стороны которого

лежат на прямых 6x + y - 23 = 0, 9x - 4y - 7 = 0, 3x - 5y - 17 = 0.

84. Точка C(6;1) - вершина прямого угла в треугольнике, а

гипотенуза лежит на прямой 2x-3y+5 =0. Написать уравнения

катетов, один из которых лежит на прямой, содержащей точку

(-4;-25).

85. Точки A(1;2) и B(3;0) - вершины равнобедренного треуголь-

ника ABC, углы A и B при основании равны arccos . Найти

координаты вершины C, зная, что она лежит по ту же сторону

от прямой AB, что и точка M(2;3).

86. Составить уравнения сторон квадрата по известному уравне-

нию одной из сторон x + 8y - 17 = 0 и одной из вершин (2;9).

87. Даны уравнения сторон квадрата 4x +y - 9 = 0 и 4x +y +36 = 0.

Составить уравнения двух других его сторон при условии, что

точка A(6;2) лежит на стороне этого квадрата.

88. Точки M(5;-1) и N(-3;7) являются серединами оснований

равнобедренной трапеции, а точки P(-1;) и K(4;6) лежат на

боковых сторонах. Составить уpавнения стоpон тpапеции.

89. Даны стороны треугольника 9x - 2y - 51 =0 (AC),

4x + 3y + 24 = 0 (AB), x + 2y + 1 = 0 (BC). Составить уравне-

ние прямой, проходящей через веpшину C и точку K на сторо-

не AB, делящую её в отношении 3:7 (считая от вершины B).

90. Точки A(9;8) и D(-1;4) являются противоположными

вершинами квадрата. Определить координаты других вершин. 91. Известны одна из вершин треугольника (4;-5), уравнения

высоты 7x - y + 17 = 0 и медианы 2x - 11y - 13 = 0. Составить

уравнения сторон.

92. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину (4;1), уравнения высоты 2x - y + 11 = 0 и

биссектрисы 7x - 8y + 25 = 0, проведенных из одной вершины.

93. Стороны треугольника заданы уравнениями: 4x - 3y = 0 (AB);

3x - 4y = 0 (BC); 5x + 12y - 10 = 0 (AC). Найти радиус

вписанной окpужности.

94. Известны уравнение одной из сторон правильного треугольника

5x - y + 1 = 0 и одна из вершин (5;-3). Составить уравнения двух

дpугих стоpон тpеугольника.

95. Диагонали ромба пересекаются в точке K(3;-7). Большая

диагональ образует с осью ординат угол 45º, а со сторонами

угол 30º. Длина стороны равна 4 . Составить уравнения

сторон pомба.

96. Точка M(6;1) является серединой одного из оснований прямо-

угольной трапеции, а точка N(;1) - серединой средней линии.

Боковая сторона, перпендикулярная основаниям, лежит на

прямой x + 4y + 7 = 0. Составить уравнения остальных сторон

тpапеции.

97. Из одной вершины треугольника проведена биссектриса

3x + y - 1 = 0, из другой - медиана 11x - 5y - 25 = 0, а третья

вершина - точка A(-3;-2). Составить уравнения сторон

тpеугольника.

98. Ортоцентр треугольника АВС - точка О(-1;5). Составить уравне-

ния сторон треугольника, если известны вершины A(2;1),B(2;11).

99. Даны уравнения сторон треугольника x +2y +1=0, 2x - y - 2 = 0,

2x + y + 2 = 0. Найти точку пересечения высот.

100. Найти координаты центра окружности, проходящей через

точку A(-3;5) и касающейся прямых x - 3y - 2 = 0 и

13x - 7y + 102 = 0.

1.2.11. ЗАДАНИЕ 11

В пространстве даны точки А(-2; -1- P₇ ; 1), B(3; P₅; -1),

C(5; 3 - P₃; 1), D(1; -1 – P₇; 0). Сделать чертёж пирамиды АВСD и найти:

а) длину и уравнение ребра АВ;

б) уравнение грани АВС;

в) высоту, проведенную из вершины D, и её уравнение;

г) проекцию вершины D на плоскость АВС;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину D

параллельно ребру АВ;

е) уравнение плоскости, проходящей через вершину D

параллельно грани АВС;

ж) уравнение плоскости, проходящей через ребро АD

перпендикулярно грани АВС;

з) уравнение проекции ребра АD на грань АВС;

и) угол между ребрами АВ и АD;

к) угол между ребром АD и гранью АВС;

л) угол между гранями АВС и АВD.

1.2.12. ЗАДАНИЕ 12

Дана точка М(1;0;-2). Найти:

а) точку М₁(х₁;y₁;z₁), симметричную точке М относительно точки

S(-1-P₇;P₅;3-P₃);

б) точку М₂(х₂;y₂;z₂), симметричную точке М относительно прямой

в) точку М₃(х₃;y₃;z₃), симметричную точке М относительно плос-

кости

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЭВМ

Задания раздела 1 можно выполнять с помощью ЭВМ, используя, например, пакет Mathcad, а также совместимые с ним программные разработки кафедры. Однако ЭВМ дает готовые ответы и не отражает процесс вычислений. Поэтому в целях усвое-ния темы, предполагается подробное "ручное" решение заданий и применение ЭВМ ограничивается проверкой правильности ответов и использованием калькулятора.

Рассмотрим решение некоторых задач с помощью пакета Mathcad.

Из окна матричной и векторной палитры вызвать панель ввода матрицы. Для этого щелкнуть (левой кнопкой мыши) по кнопке

Указать размеры n,1 матрицы в соответствующих полях откры- вающейся панели и щелкнуть по кнопке ОК (n - размерность вектора, число строк; 1 - число столбцов).

Набрать матрицу-вектор, передвигаясь с помощью кнопок со стрелками. После набора последнего числа нажать клавишу ПРОБЕЛ.

Дата добавления: 2017-01-14