Уравнения Ответ

Уравнения Ответ

2)) ab=-300

4. Найдите основание перпендикуляра, проведенного из точки А (1, 3, 5) к прямой, по которой пересекаются плоскости 2x + 2y + z – 1 = 0, 3x + y +2z – 3 = 0.

Решение:

Проведем плоскость через точку А, перпендикулярную прямой а. Составим уравнение этой плоскости, соединив вместе три уравнения в систему, найдем основание перпендикуляра.

a M

. А

Найдем направляющий вектор прямой. В качестве направляющего вектора можно взять векторное произведение нормальных векторов плоскостей.

Уравнение плоскости, перпендикулярной прямой, имеет вид: 3x-y-4z+D=0. Поставим в это уравнение координаты точки А: 3-3-20+D=0 Þ D=20. Следовательно, уравнение плоскости имеет вид: 3x-y-4z+20=0. Найдем координаты основания перпендикуляра. Для этого запишем систему

II-III: 2y+6z-23=0 Þ 2y=23-6z Þ y=(23-6z)/2

2x+23-6z+z-1=0 Þ 2x+22-5z=0 Þ 2x=5z-22 Þ x=(5z-22)/2

Значит искомая точка М (-41/26, 5/26, 49/13)

Ответ: М (-41/26, 5/26, 49/13)

5. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми:

и

Решение: Прямые определяются направляющим вектором и точкой. Если прямые скрещиваются, то не лежат в одной плоскости. Зн., на них можно построить параллелепипед.

смешанное произведение. , расстояние .

Найдем направляющий вектор первой прямой

, т.о.

Найдем направляющий вектор второй прямой

,

Координаты тачек А₁ и А₂ это произвольные решения 1-ой и 2-ой системы соответственно.

(1): I+II Þ 3x-y-3=0 y=3x-3 x+2(3x-3)-z+1=0 7x-z-5=0 z=7x-5 пусть x=0 A₁(0,-3,-5)

(2): I+II Þ 3x-9=0 x=3 y+z=6 y=6-z пусть y=3, z=3 Þ A₂(3,3,3).

Составим вектор A₁A₂(3,6,8)

Ответ: .

6. Через прямую x = 2 + 5t, y = 3 + t, z = –1 + 2t проведите плоскость, перпендикулярную к плоскости 4x + 3y – z + 3 = 0.

Решение:

Направляющий вектор прямой (коэффициенты при параметрах)

Нормальный вектор плоскости , координаты точки А=(2,3,-1).

- нормальный вектор построенной плоскости. Если плоскость проходит ч\з прямую, то нормальный вектор плоскости перпендикулярен направляющему вектору прямой, т.е. и кроме того

Т.о. , где В – произвольное число, пусть В=13, тогда и уравнение плоскости имеет вид: -7x+13y+11z+D=0. Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем D=-14, т.о. -7x+13y+11z-14=0.

Ответ: -7x+13y+11z-14=0.

7. Какая плоская фигура задана уравнением: x² – 4y² + 4x + 24y – 36 = 0.

Решение:

Выделяем полные квадраты: (x²+4x+4)-4(y²-6y+9)-36-4+36=0; (x+2)² – 4(y-3)² – 4=0;

(x+2)² – 4(y-3)² = 4; /:4 -- получили уравнение гиперболы.

-2 -1 2

Дата добавления: 2017-01-14