Теория дифференциального и интегрального исчислений

В 17 веке перед естествознанием возникла проблема: найти законы движения и установить законы механики. Для этого аппарат математики постоянных величин был недостаточным. Заслуга Ньютона заключается в том, что одновременно с Г. Лейбницем, но независимо от него, он создал дифференциальное и интегральное исчисления, которые стали могучим средством решения новых задач. Концепции Ньютона и Г. Лейбница были разными. Лейбниц, развивая чистый анализ, исходил из абстрактной концепции, которая стала исходной для развития чистого анализа; Ньютон же рассматривал математику, или, как тогда говорили, геометрию, только как способ для физических исследований. Эта связь математических и физических исследований ярко проявилась в методе флюксий Ньютона.
Уже в 1665–1666 годах он для нужд механики выработал основные идеи этого метода, исходя преимущественно из работ Б. Кавальери, Ж. Роберваля, П. Ферма, Д. Валлиса и своего учителя И. Барроу. На это время приходится и его открытие взаимно обратного характера операций дифференцирования и интегрирования, а также фундаментальные открытия в области бесконечных рядов, в частности индуктивное обобщение так называемой теоремы о биноме Ньютона на случай любого действительного показателя. Уже в первой работе по анализу («Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов»), написанной в 1669 году, а опубликованной только в 1711 году, ученый дал метод вычислений и изучения функций – приближений бесконечными рядами, который имел впоследствии огромное значение для всего анализа.
В 1670–1671 годах Ньютон изложил свое дифференциальное и интегральное исчисление в сочинении «Метод флюксий» (опубликовано в 1736 году). В нем четко сформулированы в механических и математических выражениях обе взаимно обратные задачи анализа и применен метод флюксий к большому количеству геометрических задач (задач на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и т.д.), а также представлен в элементарных функциях ряд интегралов от функций, которые содержат квадратный корень из квадратного трехчлена. Большое внимание уделено интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, решены некоторые задачи вариационного исчисления. Г.В. Лейбниц на 28 лет раньше Ньютона опубликовал свое открытие анализа бесконечно малых, но Ньютон на 10 лет раньше его установил для себя наличие двух больших взаимно связных исчислений, полностью понял их очень важное значение для изучения природы и использовал в своих научных достижениях. Работа Ньютона «Математические начала натуральной философии», создававшаяся на протяжении 20 лет и вышедшая через три года после публикации Г. Лейбница, насквозь проникнута духом новых исчислений; она показывает все могущество этих исчислений в изучении природы и умение Ньютоном их применять. Вклад Ньютона в математику не исчерпывается созданием дифференциального и интегрального исчисления. В алгебре ему принадлежит метод численного решения алгебраических уравнений (метод Ньютона), важные теоремы о симметричных функциях корней алгебраических уравнений, об отделении корней, о приводимости уравнений и т.д. Алгебра у Ньютона имеет геометрическую форму. Его определение числа не как совокупности единиц, а как отношения длины любого отрезка к отрезку, принятому за единицу, сыграло важную роль в развитии учения о числе.

Дата добавления: 2017-01-14