Побудова логарифмічних номограм із сорокап’ятиградусним ходом

Недоліками номограм, що будуються у спряжених квадрантах є їх гро­міздкість, труднощі із забезпеченням точності в широкому діапазоні змі­ни окремих факторів, а також при наявності змінних з показником степе­ня α≠1.

Компактний і зручний для використання вигляд мають логарифмічні номограми з сорокап’ятиградусним ходом. Теоретичні основи таких номо­грам викладені у монографії Л. Блоха. Ми ж наведемо лише основні правила їх побудови і використання.

Розглянемо рівняння з трьома невідомими типу:

(8.2)

Якщо прийняти за параметр змінну z, то в логарифмічних координатах номограма буде мати вигляд сім’ї прямих (рис. 8.4). Кут нахилу прямих до напрямку горизонтальної осі х визначають за формулою:

(8.3)

де λ_x і λ_y — модулі логарифмічних шкал, що побудовані на осях координат.

т — показник степеня при змінній х.

Оскільки показник т може бути додатним або від’ємним, то і кут φ може бути гострим або тупим.

Приймаємо λ_х = т λ_у, (8.4)

де т — коефіцієнт, що чисельно дорівнює показнику степеня т, але за­вжди має знак плюс. Тоді кут нахилу для додатних і від’ємних значень по­казника буде дорівнювати:

(8.5)

(8.6)

Це означає, що нахил сім’ї прямих залишиться незмінним, якщо при від’ємних показниках степеня повернути напрямок шкали змінної на 180° (див. рис. 8.4).

Рис. 8.4. Схема номограми рівняння у = zх^m

Модуль шкали логарифмічної сім’ї паралельних ліній параметру г рів­няння (8.2) визначають за формулою:

(8.7)

При λ_х=т λ_у і показнику степеня при змінній z рівному 1 (тобто п=1) отримаємо:

(8.8)

Як видно з формули (8.8), модуль шкали логарифмічної сім’ї паралель­них ліній параметра г в цьому випадку не залежить від показника степеня т, а залежить лише від модуля λ_y.

Номограму рівняння типу

у = zх^m (8.9)

будують у такій послідовності.

На координатному полі креслять сім’ю логарифмічних прямих z, причому модуль λ_z вибирають лише з умови зручності та діапазону зна­чень z, які зростають знизу вверх. Далі визначають модулі логарифміч­них шкал: у — з формули (8.8) та х — за формулою (8.4). Розташу­вання вертикальної шкали відносно сім’ї прямих параметру z вибирають довільно, а горизонтальної шкали х — визначають шляхом розв’язку чис­лового прикладу для будь-яких значень змінних у заданих умовами межах.

Будь-яке рівняння з багатьма змінними типу

(8.10)

може бути зведене до рівняння типу (8.9) введенням додаткових змін­них. Так, рівняння з чотирма змінними:

(8.11)

можна записати у вигляді двох рівнянь з трьома змінними з введенням додаткової змінної s:

(8.12)

(8.13)

У цих рівняннях спільною змінною є я, яку і приймають за параметр. Тоді рівняння (8.12) слід записати у вигляді:

(8.14)

Щоб сім’я прямих z була спільна для обох рівнянь (8.13 і 8.14), шкали змінних х і у потрібно прийняти вертикальними і з однаковими модулями (λ_х=λ_у=а), бо обидві змінні входять у рівняння в першому степені.

Модуль λ_у вважається основним модулем номограми, бо він відноситься до змінної, яка відшукується. Шкали змінних z і v розташовуються горизон­тально, а їх модулі дорівнюють добуткові основного модуля на відповідний показник степеня:

Напрямок зростання змінних х і у нашкалах буде знизу вверх, а змінних z і v — залежно від знаку показника степеня. Зокрема, показник степеня змінної z є від’ємним, тому наростання значень шкали z буде справа наліво, а показник степеня при змінній v є додатнім і наростання значень шкали буде зліва направо (рис. 8.5).

Положення вертикальних шкал х і у вибирається довільно, а для визна­чення положення горизонтальних шкал z і v розв’язують числові прикла­ди рівнянь (8.13) і (8.14). Зокрема, для шкали z можна задатися значеннями х=1 і s =1, відповідно з рівняння (8.14) отримаємо z=l. Аналогічно, при­ймаючи х =1 і у=1, з рівняння (8.13) знаходимо відповідне значення v =1. Ці розрахунки дозволяють встановити позначки на шкалах z і v, що відпо­відають значенням змінних z=1 і v =1. Напрямки зростання значень по­казані на схемі стрілками.

Розглянемо правила користування номограмою. Задають значення х=х₁ і z =z₁ на відповідних шкалах, проводять від них горизонтальну та вертикальну лінії і знаходять точку перетину А. Ця точка буде відповідати значенню додаткової змінної s. Зазначимо, що числове значення допоміжної s встановлювати не потрібно. Точка А дозволяє встановити положення лінії з сім’ї параметру s. Далі задають значення незалежної змінної v=v₁ і про­водять вертикальну лінію до перетину з лінією s, що відповідає значенням х₁ та z₁. Від точки перетину В проводять горизонтальну лінію до перетину зі шкалою у і знаходять відповідне значення у₁ яке і буде розв’язанням рівнян­ня (8.11) для значень х=х₁,z=z₁ і v= v₁.

Рис. 8.5. Схема номограми рівняння у = хz^mvⁿ.

З наведеного прикладу користування номограмою випливає важливий для побудови висновок. Вираховувати числові значення параметру і робити відповідні позначки на лініях з кутом нахилу 45° немає потреби. Це спро­щує побудову сітки номограми, яка зводиться до побудови рівновіддалених одна від одної вертикальних і горизонтальних ліній, що утворюють квадра­ти, а також діагональних ліній під кутом 45°. Сітка номограми задає напрям­ки переміщень від точок на шкалах до точок перетину з лініями параметру.

Розглянемо особливості побудови номограм рівняння з чотирма змін­ними, числовим коефіцієнтом k і показником степеня при змінній x відмін­ним від одиниці, тобто

(8.15)

У цьому випадку приймаємо основний модуль номограми λ_y =а. Тоді модуль шкали х буде λ_x =ра. Коефіцієнт k викликає лише зміщення шкали залежної змінної у вверх або вниз, не впливаючи на побудову інших шкал.

Наведемо деякі практичні рекомендації побудови логарифмічних но­мограм із сорокап’ятиградусним ходом.

1. При встановленні порядку нумерації шкал приймають за № 1 шкалу змінної, що має додатній показник степеня. Ця шкала повинна бути вертикальною. Наступні номери відповідають послідовності знаходження змінних.

2. Вибирають основний модуль номограми, тобто модуль шкали змін­ної, що шукається (залежної змінної).

3. Модулі всіх інших змінних знаходяться як добуток основного моду­ля на показник степеня змінної.

4. Напрямки наростання горизонтальних шкал визначають, керуючись правилами, що приведені в табл. 8.1.

5. Початок всіх шкал, за винятком шкали змінної, що шукається, вибирають довільно.

6. Для визначення положення позначки шкали, від якої будується вся шкала, розраховують один числовий приклад.

7. При перевірці правильності побудови номограми, а також оцінці її точності розв'язують один-два числові приклади аналітично і за допомо­гою номограми.

Таблиця 8.1 Визначення напрямку горизонтальних шкал

Порядковий номер шкали	Знак показника степеня змінної	Напрямок шкали
Парний	Плюс	Справа наліво
	Мінус	Зліва направо
Непарний	Плюс	Теж
	Мінус	Справа наліво

Номограми набули широкого застосування в інженерній практиці че­рез простоту і високу швидкість отримання результату, відсутність по­треби у спеціальних інструментальних засобах.

Дата добавления: 2015-07-13