Аксонометрические проекции

Ортографические проекции

Для получения ортографических проекций (видов) оси ОСК (объектной системы координат) ориентируются параллельно осям МСК (мировой системы координат), вдоль которых направляются пучки проецирующих лучей. Так как проецирующие лучи оказываются перпендикулярными координатным плоскостям, то в виде теряется информация о координате вдоль оси координат, параллельной пучку.

Отдельные виды необратимы. Восстановление 3d-объекта возможно не менее чем по двум его видам, содержащим совместно все три координаты.

С целью точной передачи размеров деталей в инженерной практике применяются чертежи в составе трех главных видов:

- спереди (фронтальный) на КП f (front), совпадающую с координатной плоскостью МСК xy. У проекции p' точки p координаты равны x'=x, y'=y, z=0;

- сверху (горизонтальный) на КП h (horizon) – плоскость МСК xz. У проекции p' точки p координаты равны x'=x, y'=0, z=z';

- справа (профильный) на КП p (profile) на КП p – плоскость yz. У проекции p' точки p координаты равны x'=0, y'=y, z=z'.

Если сплошной (не каркасный) объект имеет сложную форму, которую нельзя передать с помощью главных видов, то, как исключение, в чертежах приводятся вспомогательные виды: левый, нижний, задний.

Матрицы видового проецирования вырождены, что подтверждает невозможность восстановления всех трех координат точки только по одному ее виду.

Область применения видов – машиностроительное черчение, архитектура и другие приложения, требующие точных измерений по чертежу линейных и угловых размеров объектов благодаря параллельности измеряемых элементов плоскостям проецирования. Особое значение имеет фронтальное ортогональное проецирование с матрицей O_f=diag[1 1 0] как последняя фаза аксонометрического проецирования.

Создание на плоскости иллюзии объемности с помощью только одного изображения объекта возможно двумя способами:

1) Объект вместе с его ОСК подвергается преобразованиям вращения вокруг двух или трех неколлинеарных осей, в то время как проецирующие лучи остаются перпендикулярными к проективной плоскости. Так получаются ортогональные аксонометрические проекции.

2) Можно направить проецирующий пучок под углом к КП, осветив тем самым объект сбоку. Так образуются косоугольные проекции и их оптический аналог – тени объектов на плоскости.

Выберем для определенности фронтальную КП проецирования и последовательность вращений объекта и его ОСК x₀y₀z₀:

j_y®j_x®j_z

Такая очередность поворотов дает привычную вертикальную ориентацию проекции y' оси y₀ при произвольных углах первых двух вращений j_y и j_x. Лишь третье вращение ОСК на угол j_z поворачивает проекцию этой оси на такой же угол.

Задача аксонометрии состоит в определении координат проекций точек осевых масштабов m_x, m_y, m_z и ориентации проекций осей ОСК x',y',z' на ФКП. Рассчитаем матрицу сложного преобразования (трех вращений) объекта в неподвижной СК xyz:

m_xx m_xy m_{xz ® (x) орт}

R_yxz=R_y(j_y) R_x(j_x) R_z(j_z) = m_yx m_yy m_{yz ® (y) орт} (1)

m_zx m_zy m_{zz ® (z) орт}

(а при аффинных вращениях этот результат соответствует R_yxz^T)

Элементы матрицы являются j-ми координатами i-ых ортов ОСК:

m_xx = cos(j_y) cos(j_z) – sin(j_x) sin(j_y) sin(j_z);

m_xy = cos(j_y) sin(j_z) + sin(j_x) sin(j_y) cos(j_z);

m_xz = – cos(j_x) sin(j_y);

m_yx = – cos(j_x) sin(j_z);

m_yy = cos(j_x) cos(j_z);

m_yz = sin(j_x);

m_zx = sin(j_y) cos(j_z) + sin(j_x) cos(j_y) sin(j_z);

m_zy = sin(j_y) sin(j_z) – sin(j_x) cos(j_y) cos(j_z);

m_zz = cos(j_x) cos(j_y).

Получим соотношения для расчета углов y_x, y_y, y_z наклона осей ОСК к ФКП (из (1) и так как длины m_x, m_y, m_z (гипотенузы) - единичные):

Sin(y_x)=m_xz= – cos(j_x) sin(j_y);

Sin(y_y)=m_yz= sin(j_x); (2)

Sin(y_z)=m_zz= cos(j_x) cos(j_y).

Из которых следуют независимость углов y_x, y_y, y_z от угла j_z последнего вращения в формуле (1) и условие связи углов

Sin²(y_x)+Sin²(y_y)+Sin²(y_z)=1. (3)

Дата добавления: 2015-07-13