Пример 4. Найти работу, которую нужно совершить при растяжении пружины на 0,02м, если для ее растяжения на 1см требуется сила 10Н

Решение. Согласно закону Гука, сила F, растягивающая или сжимающая пружину на х метров, равна kx, где k – коэффициент пропорциональности. Из условия следует, что 10=k∙0,01, т.е. k=1000, и, значит, F=kx=1000x. Теперь по формуле (6) найдем искомую работу:

А= (Дж).

Сила давления жидкости. Пусть пластинка в виде криволинейной трапеции погружена вертикально в жидкость с плотностью ρ так, что ее боковые стороны параллельны поверхности жидкости и находятся ниже уровня на расстояниях а и b. Для нахождения силы давления жидкости на пластинку разобьем ее на n малых горизонтальных полосок прямыми, параллельными оси Оу и проходящими через точки х₀=а, х₁, …, х_n-1, х_n=b. Выделим одну из полосок, находящуюся на глубине х_i. Для такой достаточно узкой полоски давление во всех ее частях можно приближенно считать одинаковым, а саму полоску принять за прямоугольник с высотой ∆ х_i=(b-a)/n. Длина основания этого прямоугольника есть некоторая функция от х, которую обозначим f(x). Согласно закону Паскаля, сила давления Р_i на i-ю полоску составляет P_i=ρgf(х_i) х_i∆ х_i,

а сила давления жидкости на всю пластинку вычисляется по формуле

P=ρg , (7)

Пример 5.Пластинка, имеющая форму треугольника с основанием 4см и высотой 3см, погружена вертикально в воду. Вычислить силу давления на эту пластинку, если ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис.8)

Решение. Здесь а=0, b=ВЕ=0,03м, АС=0,04м, ρ=1000кг/м³. Пусть DF-ширина пластинка на уровне ВК=х. из подобия ∆АВС и ∆DBF находим

DF= ,

Подставляя все данные в формулу (7), получим

Р=1000∙9,81

Задания

Вариант1

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , прямыми х = -3 и х = 2 и осью Ох.

2. Тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=2 (м/с). Найдите путь, пройденный телом за промежуток времени от t₁=0 с до t₂=5с.

3. Два тела движутся по прямой из одной и той же точки. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью v = (6t+12) м/с. В какой момент и на каком расстоянии от начальной точки произойдет их встреча?

4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,08 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10Н.

5. Вычислите силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 2м и высотой 4м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.

Вариант2

1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями и х =2

2. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением . Вычислите ее путь за 3 с от начала движения.

3. Два тела начали двигаться одновременно из одной точки в одном направлении по прямой. Первое тело движется со скоростью м/с, второе – со скоростью м/с. На каком расстоянии друг от друга они окажутся через 10с?

4. Вычислить работу, совершенную при сжатии пружины на 0,06 м, если для сжатия ее на 0,03 м нужна сила 15Н.

5. Вычислите силу давления воды на вертикальную прямоугольную стенку с основанием 10м и высотой 5м. Уровень воды совпадает с верхним обрезом стенки.

Контрольные вопросы

1. В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?

2. Напишите формулу для вычисления объема тела, полученной вращением фигуры вокруг оси Ох.

3. Напишите формулу для вычисления работы силы.

4. Напишите формулу для вычисления пути, пройденного телом.

Дата добавления: 2015-07-13