Пример 10. Матрицыи -единичные матрицы

Пример 9. Матрицыи -диагональные матрицы.

Пример 8.Матрицыи -диагональные матрицы.

Определение 11. Диагональная матрица называется скалярной, если все элементы главной диагонали принимают одинаковые значения.

Определение 12. Скалярная матрица называется единичной, если все элементы главной диагонали матрицы равны 1, т.е.

Обозначение: E или , когда требуется указать размер матрицы, т.е.

, где

Теорема 2. Если , где то для любой матрицы

. (14)

Доказательство.

Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

, так как

Пусть матрица , тогда, согласно определению 7, матрица , где

, так как

Из полученных результатов следует, что и , следовательно, . Утверждение доказано.

Следствие 1. Если матрица где - некоторое число, т.е. B - cкалярная матрица порядка n, то для любой матрицы

. (15)

Доказательство. Нетрудно заметить, что . Следовательно,

; .

Что и требовалось доказать.

Определение 13. Операция перехода от матрицы к матрице , где , , т.е. когда столбцы матрицы А превращаются в соответствующие строки матрицы В, называется транспонированием матрицы А. Матрица В в этом случае называется транспонированной матрицей А.

Обозначение:

Пример 11. , .

Замечание. Нетрудно заметить, что при транспонировании матриц элементы, стоящие на главной диагонали, не изменяю своего положения.

Теорема 3 (свойства операции транспонирования)

1) , где - единичная матрица порядка n.

2) , для любых матриц .

3) , где и (16)

4) , где и . (17)

5) , для любых матриц А и любых постоянных .

Доказательство. Справедливость свойств 1 и 2 следует из определения 13. Следовательно, доказать требуется лишь свойства 3 и 4.

3) Пусть .

Так как , , то для матрицы , где .

Следовательно, , и, согласно определению 13, , где

, (18)

Пусть . Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

Следовательно, и , где

, (19)

Из формул (18) и (19) следует, что , Это означает равенство матриц С и D, а значит, и справедливость формулы (16). Утверждение 3 доказано.

4) Применяем ту же методику: доказываем, что матрицы в левой и правой части равенства (17) состоят из одинаковых элементов.

, , тогда , где , элементы которой определяются по формуле (20):

, (20)

Пусть , тогда и, согласно определению 13, , где , В этом случае, из (20) следует, что элементы матрицы определяются по формулам (21):

, (21)

Так как , , то матрица - матрица вида , где , а матрица - матрица вида , где ,

Следовательно, матрица , , элементы которой определяются по правилу:

, (22)

Используя представления элементов матриц L и S с помощью элементов матриц А и В, получаем:

, (23)

Из равенств (21) и (23) следует, что элементы матриц D и К, стоящие на одинаковых местах, совпадают, значит, , что означает, что . Утверждение доказано.

5) Данное свойство докажите самостоятельно.

Определение 14. Элементарными преобразованиями матриц называются следующие операции над матрицами:

1) перестановка двух строк матрицы местами;

2) умножение всех элементов некоторой строки матрицы на одно и то же число;

3) прибавление к элементам некоторой строки матрицы соответствующих элементов другой строки этой же матрицы, умноженных на число;

4) те же операции над столбцами.

Определение 15. Матрицы А и В, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными.

Обозначение: .

Смысл этой эквивалентности станет Вам понятен позднее, в частности, при исследовании систем линейных уравнений.

Дата добавления: 2015-08-31